Übungen

Übung 1

Wir betrachten die Vektoren

v₁ = (1, 0, 1), v₂ = (1, 1, 0), v₃ = (0, 1, 1)  ∈  ℝ³.

Weiter sei b = (b₁, b₂, b₃)  ∈  ℝ³ beliebig. Berechnen Sie den Koordinatenvektor von b bzgl. der Basis (v₁, v₂, v₃) des ℝ³ in Abhängigkeit von den Komponenten b₁, b₂, b₃ von b. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch ein instruktives Beispiel.

Übung 2

Lösen Sie das folgende System mit Hilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens und beschreiben Sie in kurzer Form die einzelnen Umformungsschritte:

$( \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} )$ x = $( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )$

Übung 3

Welche der folgenden Aussagen sind für alle Gleichungssysteme richtig und welche nicht? Begründen Sie Ihre Antworten.

(a)	Der Nullvektor ist genau dann eine Lösung von Ax = b, wenn b = 0.

(b)	Sind Ax = b und Ax = c lösbar, so auch Ax = b + c.

(c)	Ist Ax = b lösbar und A ≠ 0, b ≠ 0, so ist auch Ax = c lösbar.

(d)	Ist Ax = b eindeutig lösbar, so ist A quadratisch.

(e)	Ist Ax = b eindeutig lösbar und A quadratisch, so ist Ax = c eindeutig lösbar.

(f)	Sind v, w linear unabhängige Lösungen von Ax = b, so gibt es linear unabhängige Lösungen von Ax = 0.

Übung 4

Wir betrachten die Vektoren v = (1, 3, 1, 0, 1), w = (2, 2, 0, 1, −1) des ℝ⁵. Geben Sie eine (3 × 5)-Matrix A an, sodass das homogene Gleichungssystem Ax = 0 die Lösungsmenge L = span(v, w) besitzt.

[ Hinweis: Orientieren Sie sich an den reduzierten Zeilenstufenformen mit diagonalen Pivots, wobei noch Spaltenpermutationen auftreten können. ]