Anwendung 1: Koordinatenvektoren

Ist (v₁, …, v_n) eine Basis des ℝⁿ und u  ∈  ℝⁿ, so gibt es eine eindeutige Darstellung von u der Form

u = λ₁ v₁ + … + λ_n v_n.

Den Vektor (λ₁, …, λ_n)  ∈  ℝⁿ hatten wir den Koordinatenvektor von u bzgl. der Basis (v₁, …, v_n) genannt. Mit Hilfe der Invertierung von Matrizen können wir diesen Vektor leicht berechnen:

Satz (Berechnung von Koordinatenvektoren)

Sei (v₁, …, v_n)  ∈  ℝⁿ eine Basis des ℝⁿ, und sei A = (v₁; …; v_n)  ∈  ℝ^n × n die Matrix mit den Basisvektoren v₁, …, v_n als Spalten. Dann ist A invertierbar und für alle u  ∈  ℝⁿ ist A⁻¹u der Koordinatenvektor von u bzgl. (v₁, …, v_n).

Beweis

Die Spalten von A sind linear unabhängig, sodass A invertierbar ist. Sei u  ∈  ℝⁿ beliebig, und sei

A⁻¹u = (λ₁, …, λ_n).

Dann gilt

λ₁ v₁ + … + λ_n v_n	= λ₁ Ae₁ + … λ_n Ae_n
	= A(λ₁e₁ + … + λ_ne_n)
	= A (λ₁, …, λ_n) = A A⁻¹u = u

Eine invertierbare Matrix A = (v₁; …, v_n)  ∈  ℝ^n × n erzeugt durch ihre Spaltenvektoren ein im Allgemeinen schiefwinkliges und nicht normiertes Koordinatensystem, das den n-dimensionalen Raum mit einem Gitter überzieht. Wollen wir einen im üblichen kartesischen System gegebenen Vektor

u = (u₁, …, u_n) = u₁e₁ + … + u_n e_n

bzgl. dieses Gitters messen, so wenden wir A⁻¹ auf u an. Mit (λ₁, …, λ_n) = A⁻¹u gilt

u = A (λ₁, …, λ_n) = λ₁ v₁ + … + λ_n v_n.

Beispiel

Unsere Überlegungen im obigen Beispiel zu eindeutig lösbaren Systemen zeigen für die Basis (v₁, v₂) der Ebene ℝ² mit v₁ = (1, −1), v₂ = (−2, 4):

(1, 2) hat den Koordinatenvektor (4, 3/2)

(4, −1) hat den Koordinatenvektor (7, 3/2)

(3, −3) hat den Koordinatenvektor (3, 0)