Matrizen in Zeilenstufenform
Wir haben gesehen, dass wir eindeutig lösbare quadratische Systeme mit Hilfe des Invertierungsverfahrens für Matrizen lösen können. Wir betrachten nun den allgemeinen Fall. Sehr nützlich hierzu ist:
Definition (Zeilenstufenform, Pivots, reduziert, diagonal)
Ein A ∈ ℝm × n hat Zeilenstufenform, falls es ein r ≤ min(m, n) gibt mit:
(a) | Die ersten r Zeilen von A sind alle ungleich 0. Die restlichen m − r Zeilen sind alle gleich 0. |
(b) | Es gilt p(1) < … < p(r), wobei p(i) = „das kleinste j mit aij ≠ 0“ |
Die Einträge a1,p(1), …, ar,p(r) heißen die Pivots von A. Sind alle Pivots gleich 1 und alle Einträge über den Pivots 0, so heißt A reduziert. Gilt p(i) = i für alle i, so hat A diagonale Pivots.
Beispiele
Die folgenden 4 × 6-Matrizen sind in Zeilenstufenform mit r = 3:
In einer reduzierten Form mit diagonalen Pivots p(1) = 1, …, p(r) = r steht links oben die Einheitsmatrix Er. Rechts von Er steht eine beliebige (im Allgemeinen nicht quadratische) Matrix. Die Zeilen darunter sind alle 0. Jede Einheitsmatrix En ist reduziert mit diagonalen Pivots.