Eigenschaften von Determinanten

Wir versammeln einige Eigenschaften von Determinanten. Sie lassen sich mit Hilfe des Eindeutigkeitssatzes oder der Leibniz-Formel nachweisen. Wir beginnen mit einigen rechnerischen Beobachtungen:

Satz (Berechnungseigenschaften für Determinanten)

Sei n ≥ 1. Dann gilt:

(1)	Die Determinante einer oberen bzw. unteren Dreiecksmatrix ist das Produkt ihre Diagonaleinträge. Speziell gilt dies für Diagonalmatrizen.

(2)	Für alle A  ∈  ℝ^{n × n} und λ  ∈  ℝ gilt: det(λ A) = λⁿ det(A). Speziell gilt det(−A) = (−1)ⁿ det(A).

(3)	Eine Determinante ändert beim Tausch zweier Spalten ihr Vorzeichen. Das Gleiche gilt für die Zeilen.

(4)	Eine Determinante bleibt unverändert, wenn das λ-Fache einer Spalte zu einer anderen Spalte addiert wird. Das Gleiche gilt für die Zeilen.

Darüber hinaus gelten:

Satz (Struktureigenschaften der Determinante)

Sei n ≥ 1. Dann gilt für alle A, B  ∈  ℝ^{n × n}:

(1)	det(A) ≠ 0 genau dann, wenn A ist invertierbar.

(2)	det(AB) = det(A) det(B) (Determinanten-Multiplikationssatz)

(3)	det(A^t) = det(A) (Determinanten-Transpositionssatz)

Die Determinante stellt uns also ein weiteres Invertierbarkeitskriterium zur Verfügung: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante nicht verschwindet. Diese wichtige Eigenschaft wird durch die Volumeninterpretation sehr anschaulich: Die Spalten von A  ∈  ℝ^{n × n} sind genau dann linear abhängig, wenn ihr Spann eine Dimension kleiner als n aufweist. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Bild des Einheitswürfels [ 0, 1 ]ⁿ unter A das Volumen 0 besitzt, d.h. es gilt det(A) = 0. Etwas salopp: det(A) = 0 bedeutet, dass der Einheitswürfel durch A flachgedrückt wird. Für die Dimension n = 2 entsteht ein degeneriertes Parallelogramm, für n = 3 ein degenerierter Spat (Höhe Null).