Die effektive Berechnung einer Determinante

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist leicht zu berechnen. Zeilenadditionen lassen die Determinante unverändert. Hieraus gewinnen wir:

Berechnungsverfahren für Determinaten

Sei A  ∈  ℝ^{n × n} gegeben. Wir überführen A durch wiederholte Zeilenadditionen (Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen) in eine obere Dreiecksmatrix, indem wir Spalte für Spalte Nulleinträge unterhalb der Diagonaleinträge erzeugen. Anschließend geben wir das Produkt der Diagonaleinträge als Ergebnis aus.

Varianten: Wir können zusätzlich die Operationen „Zeilentausch“ und „Multiplikation einer Zeile mit λ ≠ 0“ verwenden. Für jeden Zeilentausch müssen wir das Ergebnis mit −1 multiplizieren und für jede Multiplikation mit 1/λ. Weiter können wir das Verfahren mit Ergebnis 0 stoppen, sobald wir eine Nullzeile oder Nullspalte erzeugen. Völlig analog lässt sich das Verfahren auch mit Hilfe von Spaltenoperationen durchführen.

Beispiel

det $( \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & 4 & 1 \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & 4 & 1 \end{matrix} )$

= det $( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 1 & 1 \\ 0 & - 7 & 0 & 1 \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 1 \end{matrix} )$

= det $( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 / 2 \end{matrix} )$ = 1 · (−1) · 2 · (−5/2) = 5

Im ersten Schritt haben wir die zweite Zeile zur ersten addiert, um die diagonale Null zu korrigieren (wir können die beiden Zeilen auch austauschen, müssen dann aber einen Faktor −1 hinzufügen). Danach räumen wir Spalte für Spalte unterhalb der Diagonale aus. Im Schritt von (3) nach (4) addieren wir beispielsweise das −7/2-Fache der dritten Zeile zur vierten.