Komplexe Determinanten

Determinanten lassen sich analog auch für quadratische komplexe Matrizen A  ∈  ℂ^n × n definieren. Eine Determinantenfunktion hat nun die Form

det : ℂ^{n × n} → ℂ

Das reelle Kreuzprodukt steht nicht mehr zur Verfügung. Abgesehen davon bleiben alle Ergebnisse unverändert gültig: Die Formel für 2 × 2-Determinanten, die Regel von Sarrus für 3 × 3-Determinanten, der Existenz- und Eindeutigkeitssatz, die Leibniz-Formel, der Determinanten-Multiplikationssatz usw. Auch das Berechnungsverfahren bleibt korrekt.

Beispiel

Wir berechnen eine komplexe 3 × 3-Determinante mit Hilfe unseres Berechnungsverfahrens:

det $( \begin{matrix} i & 1 & 1 \\ 1 + i & 0 & i \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} i & 1 & 1 \\ 0 & - 1 + i & - 1 + 2 i \\ 0 & 1 + i & i \end{matrix} )$

= det $( \begin{matrix} i & 1 & 1 \\ 0 & - 1 + i & - 1 + 2 i \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix} )$ = i (−1 + i) (−2) = 2 + 2i.

Um einen Eintrag b unterhalb eines Diagonaleintrags a = 0 auszuräumen, multiplizieren wir genau wie im Reellen das −b/a-Fache der Zeile von a zur Zeile von b. Für die erste Spalte ergibt dies die beiden Faktoren

− ^1 + i_i = − 1 + i (zum Ausräumen von 1 + i unterhalb i)

− ¹_i = i (zum Ausräumen von 1 unterhalb i)

Für die zweite Spalte erhalten wir den Faktor

− ^1 + i_{− 1 + i} = ^1 + i_1 − i = i (zum Ausräumen von 1 + i unterhalb −1 + i)

Alternativ können wir die Regel von Sarrus (d. h. die Leibniz-Formel für die Dimension n = 3) anwenden. Aufgrund der beiden Nulleinträge der Matrix ist die Berechnung hier sogar einfacher:

det(A) = 0 + i + (1 + i) − 0 − 0 − (−1) = 2 + 2i