Übungen
Übung 1
Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen wahlweise mit Hilfe des Berechnungsverfahrens (in irgendeiner Variante) oder mit Hilfe der Leibniz-Formel:
(a) | A = ((1, 0, 1, 1), (1, 2, −2, 0), (1, 3, 1, 1), (0, 1, 2, 2)) |
(b) | B = ((i, i, 1), (i, 1, i), (1, i, i)) |
Übung 2
(a) | Beweisen Sie die Regel von Sarrus mit Hilfe der Definition det((v; w; u)) = 〈 v × w, u 〉 für alle v, w, u ∈ ℝ3. |
(b) | Zeichnen Sie ein Diagramm, das als Merkhilfe für die Regel von Sarrus dienen kann. |
(c) | Beweisen Sie mit Hilfe der Regel von Sarrus, dass det(A) = det(At) für alle A ∈ ℝ3 × 3. |
Übung 3
Sei n ≥ 1. Geben Sie die Fehlstände und die Vorzeichen der folgenden Permutationen in Abhängigkeit von n an:
(a) | σ = (1, …, n) |
(b) | σ = (2, 3, …, n, 1) |
(c) | σ = (n, n − 1, n −2, …, 3, 2, 1) |
Übung 4
Begründen Sie die folgenden Aussagen jeweils entweder mit Hilfe der Determinanten-Axiome oder mit Hilfe der Leibniz-Formel:
(a) | Die Determinante einer Matrix ändert sich nicht, wenn das λ-Fache einer Spalte zu einer anderen Spalte addiert wird. |
(b) | Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Diagonaleinträge. |