Das charakteristische Polynom
Sei A ∈ ℝn × n gegeben. Wir fragen:
Wie finden wir die Eigenwerte und Eigenvektoren von A?
Nach dem obigen Satz gilt für alle Skalare λ:
λ ist ein Eigenwert von A genau dann, wenn A − λEn ist singulär
Eine Matrix ist genau dann singulär, wenn ihre Determinante verschwindet. Diese Überlegung motiviert:
Definition (charakteristisches Polynom)
Sei A ∈ ℝn × n. Dann heißt die Funktion pA : ℝ → ℝ mit
pA(λ) = det(A − λEn) für alle λ ∈ ℝ
das charakteristische Polynom von A.
Es gilt also
pA(λ) = det für alle λ ∈ ℝ.
Nach der Leibniz-Formel ist pA ein Polynom n-ten Grades: Ausmultiplizieren des Produkts (a11 − λ) … (ann − λ) zeigt, dass das Polynom den Leitkoeffizienten (−1)n besitzt. Aus unserer Vorabüberlegung ergibt sich:
Die Nullstellen von pA sind genau die Eigenwerte von A.
Damit erhalten wir folgendes Berechnungsverfahren:
Bestimmung der Eigenvektoren und Eigenräume
Sei A ∈ ℝn × n gegeben.
(1) | Wir bestimmen alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms pA. Die Menge der Nullstellen ist das Spektrum von A. |
(2) | Für jede Nullstelle λ von pA lösen wir das homogene Gleichungssystem (A − λEn)v = 0. Die Lösungsmenge des Systems ist der Eigenraum Eig(A, λ). |
Im Allgemeinen können wir die Nullstellen von pA nur numerisch bestimmen. Für die Dimension n = 2 ist eine explizite Lösung möglich: