Die Länge eines Funktionsgraphen

Eine reelle Funktion g : [ a, b ] → ℝ hatten wir als Kurve f : [ a, b ] → ℝ² mit f (t) = (t, g(t)) dargestellt. Wir definieren die Länge L(g) von g im Fall der Existenz durch L(g) = L(f). Wenden wir die Längenformel mit f ′(t) = (1, g′(t)) an, so erhalten wir:

Satz (Länge eines Funktionsgraphen)

Sei g : [ a, b ] → ℝ stetig differenzierbar. Dann gilt

L(g) = ∫^b_a $\sqrt{1 + g′ (t)^{2}}$ dt(Längenformel für Funktionsgraphen)

Beispiel: Länge eines Parabelbogen

Sei [ a, b ] ein reelles Intervall. Wir betrachten die Funktion g : [ a, b ] → ℝ² mit

g(t) = t² für alle t  ∈  [ a, b ],

also den durch [ a, b ] definierten Abschnitt der Einheitsparabel. Um die Länge von g zu berechnen, benutzen wir die für alle c  ∈  ℝ gültige Integrations-Formel (vgl. die Bemerkung unten)

∫ $\sqrt{c^{2} + t^{2}}$ dt = ¹₂ (t $\sqrt{c^{2} + t^{2}}$ + c² log(t + $\sqrt{c^{2} + t^{2}}$ )).

Nach der Längenformel und der Integrations-Formel für c = 1/2 gilt:

L(g)	= ∫^b_a $\sqrt{1 + g′ (t)^{2}}$ dt = ∫^b_a $\sqrt{1 + {4 t}^{2}}$ dt
	= 2 ∫^b_a $\sqrt{(1 / 2)^{2} + t^{2}}$ dt
	= ${[t \sqrt{1 / 4 + t^{2}} + \frac{1}{4} log (t + \sqrt{1 / 4 + t^{2}})]}_{t = a}^{t = b}$

Für das Einheitsintervall [ 0, 1 ] erhalten wir speziell

L(g)	= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ + ¹₄ log(1 + $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ) − ¹₄ log(¹₂)
	= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ + ¹₄ log(2 + $\sqrt{5}$ ) = 1,4789…

Der Abstand von (0, 0) und (1, 1) ist gleich $\sqrt{2}$ . Numerisch ergibt sich hier 1,4142… Wir machen also einen überraschend kleinen Umweg, wenn wir die Einheitsparabel für einen Weg von (0, 0) nach (1, 1) wählen.

Zur Integrationsformel

Wir betrachten c = 1 (der allgemeine Fall ist analog). Es gilt

2 ∫ $\sqrt{1 + t^{2}}$ dt = ∫ $\sqrt{1 + t^{2}}$ dt + ∫ $\sqrt{1 + t^{2}}$ dt.

Partielle Integration und Zusammenfassung liefert

2 ∫ $\sqrt{1 + t^{2}}$ dt	= t $\sqrt{1 + t^{2}}$ − ∫ $\frac{t^{2}}{\sqrt{1 + t^{2}}}$ dt + ∫ $\sqrt{1 + t^{2}}$ dt
	= t $\sqrt{1 + t^{2}}$ + ∫ $\frac{- t^{2} + 1 + t^{2}}{\sqrt{1 + t^{2}}}$ dt
	= t $\sqrt{1 + t^{2}}$ + ∫ $\frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}}}$ dt

Der Areasinus Hyperbolicus arsinh(t) ist eine Stammfunktion des Integranden auf der rechten Seite, sodass

∫ $\sqrt{1 + t^{2}}$ dt = ¹₂ (t $\sqrt{1 + t^{2}}$ + arsinh(t)).

Alternativ erhalten wir eine logarithmisch dargestellte Stammfunktion durch

∫ $\frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}}}$ dt	= ∫ $\frac{1}{t + \sqrt{1 + t^{2}}}$ $\frac{t + \sqrt{1 + t^{2}}}{\sqrt{1 + t^{2}}}$ dt
	= ∫ $\frac{1}{t + \sqrt{1 + t^{2}}}$ (1 + $\frac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}}$ ) dt
	= ∫ s ds = log(s) = log(t + $\sqrt{1 + t^{2}}$ )

mit der Substitution s = t + $\sqrt{1 + t^{2}}$ .