Lösungen zu den Übungen

Übung 1

Sei φ > 0. Wir definieren f : [ 0, φ ] → ℝ² durch

f (t) = t (cos t, sin t) für alle t  ∈  [ 0, φ ].

(a)	Skizzieren Sie die Spur von f für φ = 2π.

(b)	Berechnen Sie L(f) in Abhängigkeit von φ. Werten Sie das Ergebnis für φ = 2π numerisch aus.

Lösung zur Übung 1

zu (a):

zu (b): Es gilt

f ′(t) = (cos t, sin t) + t (− sin t, cos t) = (cos t − t sin t, sin t + t cos t)

∥ f ′(t) ∥² = cos(t)² − 2t cos(t) sin(t) + t² sin(t)²

+ sin(t)² + 2t sin(t) cos(t) + t²cos(t)² = 1 + t².

Nach der Längenformel und der Integrationsformel

∫ $\sqrt{1 + t^{2}}$ dt = ¹₂ (t $\sqrt{1 + t^{2}}$ + log(t + $\sqrt{1 + t^{2}}$ ))

wie in der Längenberechnung des Parabelbogens gilt also

L(f) = ∫^φ₀ $\sqrt{1 + t^{2}}$ dt = ¹₂(φ $\sqrt{1 + φ^{2}}$ + log(φ + $\sqrt{1 + φ^{2}}$ )).

Bemerkung: Der log-Term ist identisch mit arcsinh(φ).

Numerisch ergibt sich für φ = 2π die Länge L(f) = 21,2562…

Übung 2

Die Zykloide f : [ 0, 2π ] → ℝ² ist definiert durch

f (t) = (t − sin t, 1 − cos t) für alle t  ∈  [ 0, 2π ].

(a)	Begründen Sie, dass die Zykloide die Bewegung des Punktes p = (0, 0) auf dem Kreis K = { (x, y)  ∈  ℝ² \| x² + (y − 1)² = 1 } beschreibt, wenn der Kreis auf der x-Achse abrollt.

(b)	Skizzieren Sie die Spur von f und visualisieren Sie zudem den abrollenden Kreis.

Lösung zur Übung 2

zu (a):

Die Kurve f ist die Summe der beiden Kurven g, h : [ 0, 2π ] → ℝ mit

g(t) = (t, 1), h(t) = − (sin t, cos t) für alle t  ∈  [ 0, 2π ]

Die Kurve g beschreibt die gleichmäßige Bewegung entlang der Stecke von (0, 1) nach (2π, 1). Die Kurve h beschreibt den gleichmäßigen Durchlauf des Einheitskreises im Uhrzeigersinn bei Start und Ende in (0, −1). Die Kurve f können wir also so interpretieren: Wir markieren den Punkt (0, −1) auf dem Einheitskreis. Nun verschieben wir den Einheitskreis um den Vektor (0, 1) und rollen ihn danach gleichmäßig auf der x-Achse ab. Dabei verfolgen wir die Bewegung des markierten Punktes. Zur Zeit 2π (Umfang des Kreises) haben wir eine volle Umdrehung erreicht und der Punkt ist bei (2π, 0) angekommen.

zu (b):

Die Spur der Zykloide (blau) als Bewegung eines Punktes auf einem gleichmäßig abrollenden Kreis.

Übung 3

Die Kardioide f : [ 0, 2π ] → ℝ² ist definiert durch

f (t) = 2 ((1 − cos t) cos t, (1 − cos t) sin t) für alle t  ∈  [ 0, 2π ].

Skizzieren Sie die Spur von f und interpretieren Sie diese Spur mit Hilfe eines abrollenden Kreises in Analogie zu Übung 2.

Lösung zur Übung 3

Der blaue Kreis rollt gegen den Uhrzeigersinn auf dem schwarzen Kreis ab. Die Kardioide (rot) beschreibt die Bahn des Punktes (0, 0) auf dem abrollenden Kreises.

Sei K der Kreis der Ebene mit Mittelpunkt (−1, 0) und Radius 1. An den Kreis K legen wir den Kreis R mit Mittelpunkt (1, 0) und Radius 1 an. Nun rollen wir R in der Zeit [ 0, 2π ] gleichmäßig gegen den Uhrzeigersinn auf K ab und verfolgen dabei den Punkt P = (0, 0) auf dem abrollenden Kreis. Die Mittelpunkte der Kreise R(t) durchlaufen den Kreis mit Mittelpunkt (−1, 0) und Radius 2. Der Punkt P(t) startet auf R(0) beim Winkel π und durchläuft zwei volle Umdrehungen gegen den Uhrzeigersinn.

Für alle t  ∈  [ 0, 2π ] gilt:

(1)	Der Mittelpunkt des abrollenden Kreises R(t) ist M(t) = (−1, 0) + 2 (cos t, sin t)

(2)	Der Berührpunkt der Kreise K und R(t) ist S(t) = (−1, 0) + (cos t, sin t). Bzgl. R(t) hat dieser Punkt den Winkel π + t.

(3)	Der orientierte Winkel von S(t) zum Punkt P(t) auf R(t) ist gleich t (der abrollende Kreis rutscht nicht). Nach (2) hat also P(t) den Winkel π + 2t auf R(t).

Damit erhalten wir für alle t  ∈  [ 0, 2π ]

P(t)	= (−1 + 2 cos t, 2 sin t) + (cos(π + 2t), sin(π + 2t))
	= (−1 + 2 cos t + cos(π + 2t), 2 sin t + sin(π + 2t))

Mit Hilfe der Formeln

cos(π + t) = − cos(t), sin(π + t) = − sin(t)

cos(2t) = sin²(t) − cos²(t) = 2 cos²(t) − 1, sin(2t) = 2 sin(t) cos(t)

erhalten wir:

P₁(t) = −1 + 2 cos t − 2 cos²(t) + 1 = 2 (1 − cos t) cos t

P₂(t) = 2 sin t − 2 sin t cos t = 2 (1 − cos t) sin t

Sind sind die Komponentenfunktionen der Kardioide, d. h. es gilt f (t) = P(t).

Übung 4

Wir betrachten f : [ 0, 2π ] → ℝ² mit

f (t) = (cos t, sin t) + ¹₄(cos(4t), sin(4t))

Das Diagramm zeigt die Spur von f.

(a)	Berechnen Sie die Ableitung von f.

(b)	Warum widersprechen die augenfälligen Knicke der Spur der Differenzierbarkeit von f nicht? Bestimmen Sie die zugehörigen Parameter t₁, t₂, t₃ dieser Knicke.

Lösung zur Übung 4

zu (a): Es gilt

f ′(t) = (−sin t, cos t) + (− sin(4t), cos(4t)) für alle t  ∈  [ 0, 2π ].

Die Kurve f ist stetig differenzierbar.

zu (b): Die drei Knicke der Spur widersprechen der Differenzierbarkeit nicht, da der Geschwindigkeitsvektor an den entsprechenden Stellen der Nullvektor ist. Die Parameter t₁, t₂, t₃ sind die singulären Parameter der Kurve, also die Lösungen des Gleichungssystems

−sin t − sin(4t) = 0, cos t + cos(4t) = 0

in der Unbestimmten t  ∈  [ 0, 2π ]. Aus Symmetriegründen gilt

t₁ = π/3, t₂ = π, t₃ = 5π/3.

Denn die drei Parameter teilen die Spur in drei kongruente Teile mit gleicher Durchlaufzeit und t₂ markiert die Hälfte des Durchlaufs, sodass t₂ = π. Hieraus ergibt sich t_1,3 = t₂ ± 2π/3, d. h. t₁ = π/3 und t₃ = 5π/3.

Die x-Komponente (blau) und die y-Komponente (gelb) der Ableitung f ′