2. Mehrdimensionale Differentialrechnung

Wir erweitern die Differentialrechnung auf Funktionen der Form f : ℝⁿ → ℝ^m oder allgemeiner f : P → ℝ^m mit P ⊆ ℝⁿ. Dabei sind m und n beliebige Dimensionen. Den Startpunkt bilden skalarwertige Funktionen (Fall m = 1). Nach einer Diskussion verschiedener Visualisierungen definieren wir partielle Ableitungen und Gradienten. Partielle Ableitungen geben die Steigungen entlang der Koordinatenachsen an und Gradienten sind Vektoren des ℝⁿ, die in Richtung des stärksten Anstiegs zeigen. Im allgemeinen Fall m ≥ 1 schreiben wir die Gradienten der Komponenten f₁, …, f_m von f als Zeilen in eine m × n-Matrix. Die so entstehende Jacobi-Matrix ist ein Analogon zur eindimensionalen Ableitung und sie erlaubt es, lineare Approximationen zu definieren. Schließlich führen wir den Nabla-Operator und die zugehörigen Differentialoperatoren ein.