Die Jacobi-Matrix

In einem letzten Verallgemeinerungsschritt betrachten wir Funktionen der Form f : P → ℝ^m mit einem Definitionsbereich P ⊆ ℝⁿ. Nun sind sowohl die Stellen als auch die Werte Vektoren einer beliebigen Dimension. Wie bei einer Kurve können wir f in die Komponenten f₁, …, f_m : P → ℝ zerlegen, sodass

f (x) = f(x₁, …, x_n) = (f₁(x₁, …, x_n), …, f_m(x₁, …, x_n))  ∈  ℝ^m für alle x  ∈  P.

Wir nennen f stetig, wenn alle Komponentenfunktionen f₁, …, f_m stetig sind (an einer Stelle oder überall). Analoges gilt für (stetig) partiell differenzierbar. Ist f stetig partiell differenzierbar, so nennen wir f kurz stetig differenzierbar.

Ist f partiell differenzierbar, so erhalten wir die Jacobi-Matrix J_f(p) von f an der Stelle p, indem wir die Gradienten als Zeilen in eine m × n-Matrix schreiben:

J_f(p)

= (∂_j f_i(p))_{1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} = (grad f₁(p), …, grad f_m (p))

( \begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (p) & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} (p) & … & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} (p) \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} (p) & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} (p) & … & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}} (p) \\ … & … & … & … \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} (p) & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}} (p) & … & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} (p) \end{matrix} )

 ∈  ℝ^{m × n}

Satz (linearer Approximationssatz der mehrdimensionalen Analysis)

Sei f : P → ℝ^m stetig differenzierbar an der Stelle p  ∈  P. Dann gilt

f (x) = f (p) + J_f(p) (x − p) + o(∥ x − p ∥) für x → p,

wobei o(∥ x − p ∥) für eine Funktion r : P → ℝ^m steht mit

lim_x → p ^{∥ r(x) ∥}_{∥ x − p ∥} = 0.

Der Leser vergleiche dies mit dem linearen Approximationssatz der eindimensionalen Analysis für eine reelle Funktion f : P → ℝ mit P ⊆ ℝ:

f (x) = f (p) + a (x − p) + o(| x − p |) für x → p mit a = f ′(p).

An die Stelle der Ableitung a = f ′(p)  ∈  ℝ tritt die Jacobi-Matrix A = J_f(p)  ∈  ℝ^{m × n}. Die Funktion g : P → ℝ^m mit g(x) = f (p) + J_f(p) (x − p) approximiert f in der Nähe von p. Für n = 2 und m = 1 ist g die Tangentialebene von f an der Stelle p.