Volumenberechnungen

Ist A ⊆ [ a, b ]³ eine beschränkte Teilmenge des ℝ³, so können wir das Volumen V(A)  ∈  [ 0, ∞ [ der Menge A im Fall der Existenz des Integrals definieren durch

V(A) = ∫_{[ a, b ]³} ind_A.

Dabei ist ind_A : [ a, b ]³ → ℝ die Indikatorfunktion von A, d. h. es gilt ind_A(x) = 1, falls x  ∈  A, und ind_A(x) = 0 sonst. Die Berechnung von V(A) durch ein Mehrfachintegral lässt sich als Integrieren der Flächeninhalte der Schnitte

S₁(A, x) = { (y, z)  ∈  ℝ² | (x, y, z)  ∈  A }(x-Schnitt)

auffassen, wobei x  ∈  [ a, b ]. Analoges gilt für die Schnitte

S₂(A, y) = { (x, z)  ∈  ℝ² | (x, y, z)  ∈  A }(y-Schnitt)

S₃(A, z) = { (x, y)  ∈  ℝ² | (x, y, z)  ∈  A }(z-Schnitt)

Beispiel 1: Kugelvolumen

Sei r ≥ 0, und sei K = { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | x² + y² + z² ≤ r² } ⊆ ℝ³ die Vollkugel im ℝ³ mit Radius r und Mittelpunkt 0. Der z-Schnitt

S₃(K, z) = { (x, y)  ∈  ℝ² | x² + y² ≤ r² − z² }

der Kugel K ist für jedes z  ∈  [ −r, r ] ein Vollkreis mit Radius r_z = $\sqrt{r^{2} - z^{2}}$ und Flächeninhalt (r² − z²)π. Integration dieser Flächeninhalte ergibt

∫^r_−r (r² − z²)π dz = (r² z − ^z³₃) π $|_{z = - r}^{z = r}$ = ( 2 r³ − ^{2 r³}₃) π = ⁴₃r³ π.

Beispiel 2: Volumen eines Torus

Seien R ≥ r > 0, und sei T der Volltorus im ℝ³ mit den Radien R und r:

T = { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | ${(R - \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}$ + z² ≤ r² }.

Der Torus T entsteht, wenn wir den in der x-z-Ebene liegenden Kreis mit Mittelpunkt (R, 0, 0) und Radius r um die z-Achse rotieren. (Auf der linken Seite der Ungleichung steht das Quadrat des Abstands von (x, y, z) zum rotierten Mittelpunkt Rv̂ mit v = (x, y, 0).) Für jedes z  ∈  [ −r, r ] ist der z-Schnitt S₃(T, z) ein Kreisring mit dem Flächeninhalt

${(R + \sqrt{r^{2} - z^{2}})}^{2}$  π − ${(R - \sqrt{r^{2} - z^{2}})}^{2}$ π = 4 R π  $\sqrt{r^{2} - z^{2}}$ .

Damit berechnet sich das Volumen des Torus zu

V(T) = ∫^r_−r4 R π $\sqrt{r^{2} - z^{2}}$ dz = 4Rπ r²π/2 = 2π²Rr².

Schnitt einer Kugel mit Radius 1

Schnitt eines Torus mit den Radien R = 2 und r = 1