5. Abschnitt:  Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Grundlagen

Form einer m × n-Matrix (mit Einträgen a_ij  ∈  ℝ oder a_ij  ∈  ℂ):

A  =  $( \begin{array}{cccc}{\mathrm{a}}_{11}& {\mathrm{a}}_{12}& \text{…}& {\mathrm{a}}_{1\mathrm{n}}\\ {\mathrm{a}}_{21}& {\mathrm{a}}_{22}& \text{…}& {\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}\\ \text{…}& \text{…}& \text{…}& \text{…}\\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{m}1}& {\mathrm{a}}_{\mathrm{m}2}& \text{…}& {\mathrm{a}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\end{array} )$ =  (a_ij)_{1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}  =  (a_i j)_i,j.

Der erste Index gibt die Zeile an, der zweite die Spalte. Notation:

A = (v₁, …, v_m) hat die Zeilenvektoren v₁, …, v_n  ∈  ℝⁿ

A = (w₁; …; w_n) hat die Spaltenvektoren w₁, …, w_n  ∈  ℝ^m.

Spezielle Matrizen

Matrizen als Vektoren

A + B = (a_ij + b_ij)_i,j(Addition)

λA = (λ a_ij)_i,j(Skalarmultiplikation)

Matrix-Vektor-Produkt

A v  =  $( \begin{array}{ccc}{\mathrm{a}}_{11}& \text{…}& {\mathrm{a}}_{1\mathrm{n}}\\ {\mathrm{a}}_{21}& \text{…}& {\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}\\ \text{…}\\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{m}1}& \text{…}& {\mathrm{a}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\end{array} )$ $( \begin{array}{c}{\mathrm{v}}_1\\ {\mathrm{v}}_2\\ \text{…}\\ {\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\end{array} )$  =  $( \begin{array}{c}{\mathrm{a}}_{11}{\mathrm{v}}_1+\text{…}+{\mathrm{a}}_{1\mathrm{n}}{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\\ {\mathrm{a}}_{21}{\mathrm{v}}_1+\text{…}+{\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\\ \text{…}\\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{m}1}{\mathrm{v}}_1+\text{…}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\end{array} )$

Matrizen-Produkt

Für A  ∈  ℝ^{m × r}, B  ∈  ℝ^r × n mit B = (b₁; …; b_n):

A B  =   A · B  =  (Ab₁;  Ab₂;  … ;  Ab_n)  ∈  ℝ^{m × n}.

Ist C = A B, so gilt

c_ij  =  a_i1 b_1j  +  …  +  a_ir b_rj  =  ∑_{1 ≤ k ≤ r} a_ik b_k j  für alle i, j

Matrizen und lineare Abbildungen

Eine Abbildung f : ℝⁿ → ℝ^m heißt linear, falls gilt:

f(λ v + μ w)  =  λ f (v)  +  μ f (w)  für alle v, w  ∈  ℝⁿ, λ, μ  ∈  ℝ.

Für alle v  ∈  ℝⁿ gilt dann

f (v)  =  f (v₁ e₁ + … + v_n e_n)  =  v₁ f (e₁) + … + v_n f (e_n)

Eine lineare Abbildung ist damit durch ihre Werte für die Basisvektoren e₁, …, e_n eindeutig bestimmt.

Die linearen Abbildungen sind im folgenden Sinne genau die Matrizen:

Die Matrizen-Multiplikation entspricht der Komposition: Werden f : ℝⁿ → ℝ^r und g : ℝ^r → ℝ^m durch A bzw. B dargestellt, so ist B A die darstellende Matrix der Verknüpfung g ∘ f.

Wichtige 2 × 2-Matrizen

$( \begin{array}{cc}\text{cos}\mathrm{\phi }& -\text{sin}\mathrm{\phi }\\ \text{sin}\mathrm{\phi }& \text{cos}\mathrm{\phi }\end{array} )$  Rotations-Matrix zum Winkel φ  ∈  ℝ

$( \begin{array}{cc}{\mathrm{u}}_1{\mathrm{}}^2& {\mathrm{u}}_1{\mathrm{u}}_2\\ {\mathrm{u}}_1{\mathrm{u}}_2& {\mathrm{u}}_2{\mathrm{}}^2\end{array} )$  Projektions-Matrix zum normierten Vektor u  ∈  ℝ²

Invertierbarkeit

Eine quadratische Matrix A  ∈  ℝ^n × n heißt invertierbar, wenn es eine quadratische Matrix B gibt mit A B = E_n = BA. Die Matrix B heißt dann invers zu A. Ist A nicht invertierbar, so heißt A singulär.

Ist A invertierbar, so wird das (eindeutig bestimmte) Inverse von A mit A⁻¹ bezeichnet. Für invertierbare Matrizen gelten die Rechenregeln:

(A⁻¹)⁻¹  =  A,  (AB)⁻¹  =  B⁻¹ A⁻¹

Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen, n reellen Unbekannten, reellen Koeffizienten a_ij  ∈  ℝ und rechter Seite b = (b₁, …, b_m)  ∈  ℝ^m hat die Form

a₁₁ x₁ + … + a_1n x_n  =  b₁(erste Gleichung)

a₂₁ x₁ + … + a_2n x_n  =  b₂(zweite Gleichung)

…

a_m1 x₁ + … + a_mn x_n  =  b_m(m-te Gleichung)

Die Lösungsmenge L des Systems besteht aus den Vektoren x = (x₁, …, x_n)  ∈  ℝⁿ, die alle Gleichungen erfüllen. Wir notieren das System in der Form

Ax  =  b  mit A  ∈  ℝ^{m × n},  x = (x₁, …, x_n),  b = (b₁, …, b_m)

Es gilt dann

L  =  { x  ∈  ℝⁿ | Ax = b }  =  „das Urbild von b unter der linearen Abbildung A“.

Das System ist genau dann lösbar, wenn die rechte Seite b im Spann der Spaltenvektoren von A liegt. Ist b = 0, so heißt das System homogen. Ein homogenes System ist immer lösbar durch den Nullvektor.

Eindeutig lösbare quadratische Systeme

Ein System Ax = b mit A  ∈  ℝ^n × n ist genau dann eindeutig lösbar, wenn A invertierbar ist. In diesem Fall ist A⁻¹b die eindeutige Lösung des Systems (Lösen durch Invertierung). Für alle x  ∈  ℝⁿ gilt:

A x  =  b  genau dann, wenn  x  =  A⁻¹b

Allgemeine Struktur der Lösungsmenge

Die Lösungsmenge L von Ax = b mit A  ∈  ℝ^{m × n} ist ein affiner Unterraum des ℝⁿ. Genauer gilt: Ist v* eine beliebige Lösung und L₀ ⊆ ℝⁿ die Lösungsmenge des zugeordneten homogenen Systems Ax = 0, so gilt:

L  =  v*  +  L₀(spezielle Lösung + homogene Lösung)

Berechnung der Lösungsmenge

Mit Hilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens lässt sich ein System effektiv auf Lösbarkeit überprüfen und im positiven Fall die Lösungsmenge in der Form

L  =  v*  +  span(u₁, …, u_k)

berechnen, mit linear unabhängigen Lösungen u₁, …, u_k des homogenen Systems A x = 0.

Determinanten

Eigenwerte und Eigenvektoren

Seien A  ∈  ℝ^n × n, λ  ∈  ℝ und v  ∈  ℝⁿ − { 0 }. Gilt

Av  =  λ v

so heißt v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Wir setzen

σ(A)  =  { λ  ∈  ℝ | λ ist ein Eigenwert von A } (Spektrum)

Eig(A, λ)  =  { v  ∈  ℝⁿ | (Av  −  λE_n) v = 0 }(Eigenraum)

Das charakteristische Polynom

Das charakteristische Polynom p_A : ℝ → ℝ von A ist definiert durch

p_A(λ)  =  det(A − λE_n)  für alle λ  ∈  ℝ

Die Nullstellen von p_A entsprechen genau den Eigenwerten von A. Ist λ ein Eigenwert, so kann der Eigenraum mit Hilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens durch Lösen des homogenen Systems (A − λE_n)v = 0 berechnet werden. Die Dimension von Eig(λ, A) heißt die geometrische Vielfachheit von λ. Sie ist kleinergleich der algebraischen Vielfachheit von λ (Vielfachheit der Nullstelle von p_A).

Diagonalisierbarkeit

Eine Matrix A  ∈  ℝ^{n × n} heißt diagonalisierbar, wenn es eine aus Eigenvektoren von A bestehende Basis (v₁, …, v_n) des ℝⁿ gibt. Dies ist genau dann der Fall, wenn p_A in Linearfaktoren zerfällt und alle geometrischen und algebraischen Vielfachheiten übereinstimmen.

Der Spektralsatz

Sei A  ∈  ℝ^n × n. Dann sind äquivalent: