Aufgaben zu Abschnitt 1 − 3 (Set II)

Geben Sie ein Beispiel für eine reelle Zahl q an, für die die geometrische Reihe ∑_n ≥ 0 qⁿ divergiert und auch nicht uneigentlich konvergiert. Begründen Sie die Divergenz. (2 Punkte)

Sei q  ∈  ] −1, 1 [. Weiter sei k  ∈  ℕ. Geben Sie eine möglichst einfache Formel für den Wert der unendlichen Reihe ∑_n ≥ k qⁿ an.(2 Punkte)

Schreiben Sie den unendlichen Dezimalbruch 0,14 = 0,141414… in der Form c ∑_n ≥ 1 qⁿ für geeignete c, q  ∈  ℝ. Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe als Bruch.(2 Punkte)

Bestimmen Sie die Ableitungen f ′, f ″, f ″′.(1,5 Punkte)

Geben Sie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung f ⁽ⁿ⁾ von f an, wobei n ≥ 1.(1 Punkt)

Beweisen Sie Ihre Formel in (b) durch vollständige Induktion.

(3,5 Punkte)

Sei w der Punkt des Einheitskreises K der Ebene, der auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten liegt. Geben Sie die Lösungen der komplexen Gleichung z³ = w in Polarkoordinaten an. Visualisieren Sie die Lösungen durch ein Diagramm.(3 Punkte)

Sei P die Menge der komplexen Zahlen z derart, dass z⁴ im zweiten Quadranten der Ebene liegt (einschließlich der Achsen). Skizzieren Sie die Menge P durch ein Diagramm.(3 Punkte)

Bestimmen Sie durch Anwendung der Differentiationsregeln:

^d_dx2^(1/x)(1 Punkt)

Sei f : [ 0, ∞ [ → ℝ die Funktion mit f (x) = $\sqrt{\mathrm{x}}$ für alle x ≥ 0. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom zweiter Ordnung von f im Entwicklungspunkt p = 2.(2 Punkte)

Bestimmen Sie durch Anwendung der Integrationsregeln:

∫ x³ e^x dx(3 Punkte)