Lösungen zu den Aufgaben (Set II)
Aufgabe 1: Geometrische Reihe
(a) | Geben Sie ein Beispiel für eine reelle Zahl q an, für die die geometrische Reihe ∑n ≥ 0 qn divergiert und auch nicht uneigentlich konvergiert. Begründen Sie die Divergenz. (2 Punkte) |
(b) | Sei q ∈ ] −1, 1 [. Weiter sei k ∈ ℕ. Geben Sie eine möglichst einfache Formel für den Wert der unendlichen Reihe ∑n ≥ k qn an.(2 Punkte) |
(c) | Schreiben Sie den unendlichen Dezimalbruch 0,14 = 0,141414… in der Form c ∑n ≥ 1 qn für geeignete c, q ∈ ℝ. Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe als Bruch.(2 Punkte) |
Lösung zu Aufgabe 1
zu (a): Wir betrachten q = −1. Dann gilt
∑n ≥ 0 qn | = (−1)0 + (−1)1 + (−1)2 + … + (−1)n + … |
= 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 ± … |
Die Folge der Partialsummen der Reihe lautet
1, 0, 1, 0, 1, 0, …
Diese Folge ist divergent und nicht uneigentlich konvergent. Damit gilt dies für Reihe (nach Definition der Konvergenz einer Reihe).
zu (b): Wir verwenden die Formeln für die unendliche geometrische Reihe und die endliche geometrische Summe und erhalten:
∑n ≥ k qn | = ∑n ≥ 0 qn − ∑n ≤ k − 1 qn |
= 11 − q − 1 − qk1 − q = qk1 − q |
zu (c): Es gilt (mit c = 14 und q = 1/100):
0,14 | = 14102 + 14104 + 14106 + … |
= 14 (1102 + 1104 + 1106 + …) | |
= 14 ∑n ≥ 1 (1/100)n = 14 1/1001 − 1/100 = 1499 |
Aufgabe 2: Höhere Ableitungen und vollständige Induktion
Sei f : ℝ* → ℝ die Funktion mit f (x) = 1/x2 für alle x ∈ ℝ*.
(a) | Bestimmen Sie die Ableitungen f ′, f ″, f ″′.(1,5 Punkte) |
(b) | Geben Sie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung f (n) von f an, wobei n ≥ 1.(1 Punkt) |
(c) | Beweisen Sie Ihre Formel in (b) durch vollständige Induktion. (3,5 Punkte) |
Lösung zu Aufgabe 2
zu (a): Für alle x ∈ ℝ* gilt:
f ′(x) = − 2x3, f ″(x) = 6x4, f ″′(x) = − 24x5
zu (b): Für alle n ≥ 1 gilt:
f (n)(x) = (−1)n (n + 1)!xn + 2 für alle x ∈ ℝ*
zu (c): Wir zeigen die Formel in (b) durch vollständige Induktion nach n ≥ 1.
Induktionsanfang n = 1:
Es gilt
f (1)(x) = f ′(x) = − 2x3 = (−1)1 (1 + 1)!x1 + 2 für alle x ∈ ℝ*
Induktionsschritt von n nach n + 1:
Es gelte
f (n)(x) = (−1)n (n + 1)!xn + 2 für alle x ∈ ℝ* (Induktionsvoraussetzung)
Dann gilt für alle x ∈ ℝ*:
f (n + 1)(x) | = ddxf (n)(x) |
= ddx (−1)n (n + 1)!xn + 2 | |
=I. V. (−1)n (− (n + 2)) (n + 1)!xn + 3 | |
= (−1)n + 1 (n + 2)!xn + 3 |
Aufgabe 3: Komplexe Zahlen und Gaußsche Zahlenebene
(a) | Sei w der Punkt des Einheitskreises K der Ebene, der auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten liegt. Geben Sie die Lösungen der komplexen Gleichung z3 = w in Polarkoordinaten an. Visualisieren Sie die Lösungen durch ein Diagramm.(3 Punkte) |
(b) | Sei P die Menge der komplexen Zahlen z derart, dass z4 im zweiten Quadranten der Ebene liegt (einschließlich der Achsen). Skizzieren Sie die Menge P durch ein Diagramm.(3 Punkte) |
Lösung zu Aufgabe 3
zu (a): Sei α = π/4. Dann gilt w = (1, α)polar. Die komplexen Lösungen der Gleichung
z3 = w
berechnen sich nach der geometrischen Multiplikationsregel zu
z1 | = (1, α/3)polar |
z2 | = (1, α/3 + 2π/3)polar |
z3 | = (1, α/3 − 2π/3)polar |
Visualisierung der Lösungen z1, z2 und z3 der Gleichung z3 = w
zu (b):
Visualisierung der Menge P = { z ∈ ℂ | Re(z4) ≤ 0 und Im(z4) ≥ 0 }
Aufgabe 4: Differenzieren und Integrieren
(a) | Bestimmen Sie durch Anwendung der Differentiationsregeln: ddx2(1/x)(1 Punkt) |
(b) | Sei f : [ 0, ∞ [ → ℝ die Funktion mit f (x) = für alle x ≥ 0. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom zweiter Ordnung von f im Entwicklungspunkt p = 2.(2 Punkte) |
(c) | Bestimmen Sie durch Anwendung der Integrationsregeln: ∫ x3 ex dx(3 Punkte) |
Lösung zu Aufgabe 4
zu (a): Für alle x ≠ 0 gilt:
ddx2(1/x) | = ddx exp(log(2)x) |
= exp(log(2)x) (−1) log(2)x2 = − log(2)x2 2(1/x) |
zu (b): Für alle x ≥ 0 gilt:
f ′(x) = , f ″(x) = − 14 x3/2.
Damit erhalten wir:
T22f (x) | = f (2) + f ′(2) (x − 2) + f ″(2) (x − 2)22 |
= + − (x − 2)24 · 23/2 · 2 | |
= + − für alle x ∈ ℝ |
zu (c): Durch mehrfache partielle Integration ergibt sich:
∫ x3 ex dx | = x3 ex − ∫ 3 x2 ex dx |
= x3 ex − 3 x2 ex + ∫ 6 x ex dx | |
= x3 ex − 3 x2 ex + 6 x ex − ∫ 6 ex dx | |
= x3 ex − 3 x2 ex + 6 x ex − 6 ex = (x3 − 3 x2 + 6 x − 6) ex |