Lösungen zu den Aufgaben (Set II)

Aufgabe 1:  Geometrische Reihe

(a)

Geben Sie ein Beispiel für eine reelle Zahl q an, für die die geometrische Reihe n ≥ 0 qn divergiert und auch nicht uneigentlich konvergiert. Begründen Sie die Divergenz. (2 Punkte)

(b)

Sei q  ∈  ] −1, 1 [. Weiter sei k  ∈  . Geben Sie eine möglichst einfache Formel für den Wert der unendlichen Reihe n ≥ k qn an.(2 Punkte)

(c)

Schreiben Sie den unendlichen Dezimalbruch 0,14 = 0,141414… in der Form c n ≥ 1 qn für geeignete c, q  ∈  . Berechnen Sie den Wert der unendlichen Reihe als Bruch.(2 Punkte)

Lösung zu Aufgabe 1

zu (a):  Wir betrachten q = −1. Dann gilt

n ≥ 0 qn =  (−1)0  +  (−1)1  +  (−1)2  +  …  +  (−1)n  +  …
=  1  −  1  +  1  −  1  +  1  −  1  ±  …

Die Folge der Partialsummen der Reihe lautet

1,  0,  1,  0,  1,  0,  …

Diese Folge ist divergent und nicht uneigentlich konvergent. Damit gilt dies für Reihe (nach Definition der Konvergenz einer Reihe).

zu (b):  Wir verwenden die Formeln für die unendliche geometrische Reihe und die endliche geometrische Summe und erhalten:

n ≥ k qn =  n ≥ 0 qn  −  n ≤ k − 1 qn
=  11 − q  −  1 − qk1 − q  =  qk1 − q

zu (c):  Es gilt (mit c = 14 und q = 1/100):

0,14 =  14102  +  14104  +  14106  +  …
=  14 (1102  +  1104  +  1106  +  …)
=  14 n ≥ 1 (1/100)n  =  14 1/1001 − 1/100  =  1499
Aufgabe 2:  Höhere Ableitungen und vollständige Induktion

Sei f :   die Funktion mit f (x) = 1/x2 für alle x  ∈  *.

(a)

Bestimmen Sie die Ableitungen f ′, f ″, f ″′.(1,5 Punkte)

(b)

Geben Sie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung f (n) von f an, wobei n ≥ 1.(1 Punkt)

(c)

Beweisen Sie Ihre Formel in (b) durch vollständige Induktion.

(3,5 Punkte)

Lösung zu Aufgabe 2

zu (a):  Für alle x  ∈  * gilt:

f ′(x)  =  − 2x3,  f ″(x)  =  6x4,  f ″′(x)  =  − 24x5

zu (b):  Für alle n ≥ 1 gilt:

f (n)(x)  =  (−1)n (n + 1)!xn + 2  für alle x  ∈  *

zu (c):  Wir zeigen die Formel in (b) durch vollständige Induktion nach n ≥ 1.

Induktionsanfang n = 1:

Es gilt

f (1)(x)  =  f ′(x)  =  − 2x3  =  (−1)1 (1 + 1)!x1 + 2  für alle x  ∈  *

Induktionsschritt von n nach n + 1:

Es gelte

f (n)(x)  =  (−1)n (n + 1)!xn + 2  für alle x  ∈  * (Induktionsvoraussetzung)

Dann gilt für alle x  ∈  *:

f (n + 1)(x) =  ddxf (n)(x)
=  ddx (−1)n (n + 1)!xn + 2
=I. V.  (−1)n (− (n + 2)) (n + 1)!xn + 3
=  (−1)n + 1 (n + 2)!xn + 3
Aufgabe 3:  Komplexe Zahlen und Gaußsche Zahlenebene

(a)

Sei w der Punkt des Einheitskreises K der Ebene, der auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten liegt. Geben Sie die Lösungen der komplexen Gleichung z3 = w in Polarkoordinaten an. Visualisieren Sie die Lösungen durch ein Diagramm.(3 Punkte)

(b)

Sei P die Menge der komplexen Zahlen z derart, dass z4 im zweiten Quadranten der Ebene liegt (einschließlich der Achsen). Skizzieren Sie die Menge P durch ein Diagramm.(3 Punkte)

Lösung zu Aufgabe 3

zu (a):  Sei α = π/4. Dann gilt w = (1, α)polar. Die komplexen Lösungen der Gleichung

z3  =  w

berechnen sich nach der geometrischen Multiplikationsregel zu

z1 =  (1, α/3)polar
z2 =  (1, α/3 + 2π/3)polar
z3 =  (1, α/3 − 2π/3)polar
hm1-AbbIDexam_roots_eq_1

Visualisierung der Lösungen z1, z2 und z3 der Gleichung z3 = w

zu (b):

hm1-AbbIDexam_complex_region_1

Visualisierung der Menge P = { z  ∈   | Re(z4) ≤ 0 und Im(z4) ≥ 0 }

Aufgabe 4:  Differenzieren und Integrieren

(a)

Bestimmen Sie durch Anwendung der Differentiationsregeln:

ddx2(1/x)(1 Punkt)

(b)

Sei f : [ 0, ∞ [   die Funktion mit f (x) = x für alle x ≥ 0. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom zweiter Ordnung von f im Entwicklungspunkt p = 2.(2 Punkte)

(c)

Bestimmen Sie durch Anwendung der Integrationsregeln:

 x3 ex dx(3 Punkte)

Lösung zu Aufgabe 4

zu (a):  Für alle x ≠ 0 gilt:

ddx2(1/x) =  ddx exp(log(2)x)
=  exp(log(2)x) (−1) log(2)x2  =  − log(2)x2 2(1/x)

zu (b):  Für alle x ≥ 0 gilt:

f ′(x)  =  12x,  f ″(x)  =  − 14 x3/2.

Damit erhalten wir:

T22f (x) =  f (2)  +  f ′(2) (x − 2)  +  f ″(2) (x − 2)22
=  2  +  x222  −  (x − 2)24 · 23/2 · 2
=  2  +  x222  −  (x2)2162  für alle x  ∈ 

zu (c):  Durch mehrfache partielle Integration ergibt sich:

 x3 ex dx =  x3 ex  −   3 x2 ex dx
=  x3 ex  −  3 x2 ex  +   6 x ex dx
=  x3 ex  −  3 x2 ex  +  6 x ex  −   6 ex dx
=  x3 ex  −  3 x2 ex  +  6 x ex  −  6 ex  =  (x3 − 3 x2 + 6 x − 6) ex