Aufgaben zu Abschnitt 1 − 3 (Set III)

Aufgabe 1:  Vollständige Induktion

(a)

Berechnen Sie die ersten vier Partialsummen der Reihe ∑n ≥ 1 n (n − 1).(1 Punkt)

(b)

Zeigen Sie durch vollständige Induktion:

3 ∑1 ≤ k ≤ n k (k − 1)  =  (n − 1) n (n + 1)  für alle n ≥ 1(5 Punkte)

Aufgabe 2:  Komplexe Zahlen

(a)

Berechnen Sie die Real- und Imaginärteile der folgenden komplexen Zahlen, indem Sie sie in der Form x + iy mit möglichst einfachen reellen Zahlen x, y angeben:

10(1 + i) (1 − 2i),  i19,  (2, π/4)polar(3 Punkte)

(b)

Skizzieren Sie die Menge P = { z  ∈  ℂ | 1 ≤ |z2| ≤ 2, Re(z2) ≥ 0 } als Teilmenge der Ebene ℝ2.(3 Punkte)

Aufgabe 3:  Unendliche Reihen

(a)

Ergänzen Sie (im Zahlbereich ℝ):

∑n ≥ 1 qn  =  …  für alle  …(1 Punkt)

(b)

Wir betrachten die dritten Partialsummen s(x) = 1 + x + x2/2 der reellen Exponentialreihe exp(x) = ∑n ≥ 0 xn/n!.

(i)

Berechnen Sie s(x) s(y) und s(x + y) für x, y  ∈  ℝ.(1 Punkt)

(ii)

Vergleichen Sie die beiden Werte in (i). (1 Punkt)

(iii)

Welche wichtige Eigenschaft der Exponentialfunktion wird durch diese Überlegungen sichtbar?(1 Punkt)

(c)

Stellen Sie die Funktion f : ℝ → ℝ mit f (x) = cos(2x) für alle x  ∈  ℝ als Potenzreihe der Form f (x) = ∑n ≥ 0 an xn dar.(2 Punkte)

Aufgabe 4:  Differentiation und Integration

(a)

Geben Sie ein konkretes Beispiel für eine stetige und streng monoton steigende, aber nicht differenzierbare Funktion f : [ 0, 1 ] → ℝ an.(1 Punkt)

(b)

Geben Sie ein konkretes Beispiel für eine nicht Riemann-integrierbare Funktion der Form g : [ 0, 1 ] → ℝ an.(1 Punkt)

(c)

Zeigen Sie mit Hilfe der Integrationsregeln:

∫ 11 + x2 dx  =  arctan(x)(4 Punkte)