Das Kappa-Axiom
Bislang können wir noch nicht zeigen, dass ein Aggregat existiert, das keine Kardinalzahl ist. Das erste Axiom, das uns aus der Klasse der Objekte der Form κ = { 0 : κ } herausführt, ist:
(<-κ) Kappa-Axiom
Für alle κ existiert x = { μ : 1 | μ < κ }.
Zusammen mit dem Schema der Supremumsersetzung ist dieses Axiom recht stark. Wir erhalten etwa unmittelbar die folgenden Sätze:
Satz (Existenz von { xi : κi | 1 ≤ i ≤ n })
Für alle metamathematischen n, alle Aggregate x1, …, xn und alle Kardinalzahlen κ1, …, κn existiert { xi : κi | 1 ≤ i ≤ n }.
Speziell existiert (x, y) für alle x, y.
Wir brauchen also insbesondere kein Paarmengenaxiom in ATA.
Satz (kardinales Erzeugungsschema)
Für jede Sprachfunktion F : Kard → V : Kard gilt:
∀κ ∃x x = { F(μ) | μ < κ } (= { F(μ)(0) : F(μ)(1) | μ < κ }).