Das Repräsentationsaxiom
Wir fordern:
(Rep) Repräsentationsaxiom
∀κ ∃μ c({ λ | λ < μ }) = κ.
Das Axiom ist eine Reichhaltigkeitsaussage für Kardinalzahlen. Das Axiom liefert uns für jede Kardinalzahl κ eine Menge bestehend aus Kardinalzahlen der Kardinalität κ.
Definition (w(κ), σ(κ))
Für eine Kardinalzahl κ setzen wir:
| w(κ) | = { λ | λ < κ }, |
| σ(κ) | = „das kleinste μ mit c(w(μ)) = κ“. |
Wir haben oben gezeigt, dass σ(ν) = ν für alle ν ≤ ℵ0 gilt. Weiter halten wir fest:
Satz
Die Sprachfunktion σ : Kard → Kard ist strikt aufsteigend und stetig.
Für die Stetigkeit wird das Intervallaxiom (E4) verwendet, sowie der Satz, das c(x) = c(y) gilt, falls ein f : x ≡ y existiert (vgl. auch den obigen Beweis von σ(ℵ0) = ℵ0).
Multiplikation und Summen
Mit Hilfe des Repräsentationsaxioms können wir das Produkt zweier Kardinalzahlen wie folgt einführen:
Definition (Multiplikation von Kardinalzahlen)
Für Kardinalzahlen κ, μ definieren wir:
κ · μ = c({ λ : μ | λ < σ(κ) }).
Definition (kartesisches Produkt)
Seien x, y, z Aggregate. z heißt das kartesische Produkt von x und y, in Zeichen z = x × y, falls gilt:
z = { (a, b) : c(a, x) · c(a, y) | a ∈ x, b ∈ y }.
Weiter können wir nun definieren:
Definition (Summen über Aggregate)
Seien x, z Aggregate. z heißt die Summe von x, in Zeichen z = Σ x, falls für alle a gilt:
c(a, z) = Σy ∈ x c(a, y) · c(y, x).
Für die Existenz des kartesischen Produkts und der Summe brauchen wir:
(Ver) Vereinigungsaxiom
∀x ∃y ∀a ∈ x ∀b ∈ a b ∈ y.
Durch Einstellen der Häufigkeiten gewinnt man aus diesem Axiom für alle x die Existenz von Σ x. Ist x eine Menge von paarweise disjunkten Mengen, so ist Σ x wieder eine Menge (und die übliche mengentheoretische Vereinigung ⋃ x). Existieren dagegen verschiedene y, y′ ∈ x und ein a ∈ y ∩ y′, so erscheint a mindestens zweimal in Σ x.
Zusammen mit dem Schema der Supremumsersetzung erhalten wir:
Satz (Existenz des kartesischen Produkts)
Für alle x, y existiert x × y.
Beweis
Nach dem Satz über das Einstellen der Häufigkeiten genügt es, die Aussage für Mengen x, y zu zeigen. Seien also x, y Mengen. Wir setzen:
z = { x × { b } | b ∈ y }.
Dann gilt Σ z = x × y.
Ein kartesisches Produkt ist eine äußere Funktion. Leicht zu sehen ist:
Satz (dom(z) und rng(z) eines Produkts z = x × y)
Seien x, y Aggregate, und sei z = x × y.
Dann ist dom(z) = { a : c(y) | a ∈ x }, rng(z) = { b : c(x) | b ∈ y }.
Damit erhalten wir:
Satz (Kommutativität der Multiplikation)
Für alle κ, μ gilt:
κ · μ = c(w(σ(κ)) × w(σ(μ))) = μ · κ.
Beweis
Sei z = w(σ(κ)) × w(σ(μ)). Es gilt z−1 = w(σ(μ)) × w(σ(κ)) und c(z) = c(z−1).
Es genügt also zu zeigen, dass κ · μ = c(z). Es gilt
| dom(z) | = { λ : μ | λ ∈ w(σ(κ)) } = { λ : μ | λ < σ(κ) }. |
Für alle Relationen R gilt c(R) = c(dom(R)) und damit gilt:
c(z) = c(dom(z)) = κ · μ.
Korollar
Für alle x, y gilt c(x × y) = c(y × x).
Beweis
Sei z = x × y. Dann gilt nach Kommutativität der Multiplikation:
z−1 = { (b, a) : c(a, x) · c(b, y) | a ∈ x, b ∈ y } = { (b, a) : c(b, y) · c(a, x) | a ∈ x, b ∈ y } = y × x.
Aus c(z) = c(z−1) folgt die Behauptung.
Wir zeigen weiter, dass c(x × y) = c(x) · c(y) für alle Aggregate x, y gilt. Hierzu brauchen wir noch ein Distributivgesetz.
Satz
Für alle x, κ gilt: Σa ∈ x κ · c(a, x) = κ · c(x).
Beweis
Für alle μ gilt Σλ ∈ w(σ(κ)) μ = κ · μ nach Definition der additiven Ersetzung und Definition des Produkts. Damit haben wir:
Σa ∈ x κ · c(a, x) = Σa ∈ x Σλ ∈ w(σ(κ)) c(a, x) = Σλ ∈ w(σ(κ)) Σa ∈ x c(a, x) =
Σλ ∈ w(σ(κ)) c(x) = κ · c(x).
Korollar (Multiplikation und kartesisches Produkt)
Seien x, y Aggregate, und seien κ = c(x), μ = c(y). Dann gilt:
κ · μ = c(x × y).
Beweis
c(x × y) = Σa ∈ x Σb ∈ y c(a, x) · c(b, y) = Σa ∈ x c(a, x) · c(y) =
Σa ∈ x c(y) · c(a, x) = c(y) · c(x) = c(x) · c(y) = κ · μ.
erbliche Mengen
Mit Hilfe des Vereinigungsaxioms können wir für alle x definieren:
t. c.(x) = Σ { xν : 1 | ν < ω },
wobei x0 = x, xν + 1 = Σ xν für ν < ω.
Damit definieren wir dann:
Definition (erbliche Menge)
x heißt eine erbliche Menge, falls t. c.(x) eine Menge ist.