Arithmetische Operationen mit Kardinalzahlen

 Für Kardinalzahlen fließen neben dem kleiner und kleinergleich auch die Definitionen der Addition, Multiplikation und Exponentiation ohne Mühe aus der Feder. Dies geschieht wie erwartet derart, dass die üblichen arithmetischen Operationen auf den natürlichen Zahlen, die ja nun per definitorischem Dekret zu Kardinalitäten ernannt worden sind, mit den neudefinierten Operationen, eingeschränkt auf die endlichen Kardinalzahlen, zusammenfallen.

 Die Konstruktion A × { 0 } ∪ B × { 1 } in der Addition hat folgenden Grund: Es gilt |A| = |A × { 0 }|, |B| = |B × { 1 }|, und A × { 0 } ∩ B × { 1 } = ∅. Wir verwenden also disjunkte Mengen der entsprechenden Kardinalitäten zur Addition. Eine Definition von 𝔞 + 𝔞 = |A ∪ A| = |A| ist sicher nicht das, was wir wollen. Für die wie oben definierte Addition gilt aber gewiß: Sind A, B disjunkte Mengen, so ist |A ∪ B| = |A| + |B|.

 Es ist klar nach all dem, was wir in den vorangehenden Kapiteln gezeigt haben, dass die Operationen wohldefiniert sind, d. h. verwenden wir andere Mengen M, N mit |M| = |A| = 𝔞 und |N| = |B| = 𝔟, so erhalten wir dieselben Ergebnisse für 𝔞 + 𝔟, 𝔞 · 𝔟 und 𝔞^𝔟.

 Man zeigt leicht, dass die Operationen mit endlichen Kardinalitäten n, m  ∈  ℕ die üblichen Operationen auf den natürlichen Zahlen liefern. Der Leser überlege sich statt einer langweiligen und länglichen Übung vielleicht die folgenden Spezialfälle: 0 · n = 0, n⁰ = 1 für alle n  ∈  ℕ , 0ⁿ = 0 für alle n  ∈  ℕ − { 0 }. [Für die leere Menge gilt ∅ : ∅ → M für alle Mengen M. Daher die 1 in n⁰.  Allgemein gültige Sonderfälle sind 𝔞⁰ = 1, 1^𝔞 = 1 für alle 𝔞 und 0^𝔞 = 0 für alle 𝔞 ≠ 0.]

 Für die Addition und die Multiplikation von beliebigen Kardinalzahlen gelten die aus dem Reich des Endlichen vertrauten Rechenregeln:

 Dagegen bleibt ein < i. A. nicht erhalten: 0 < 1, aber 0 + ℵ₀ = ℵ₀ = 1 + ℵ₀.