Altes in neuem Gewande
Wir stellen in der neuen Notation einige Resultate zusammen, die wir in den vorangehenden Kapiteln (incl. der Übungen) bewiesen haben.
Für ℵ0 = |ℕ|, 𝔠 = |ℝ|, 𝔣 = |𝔉| gilt:
(i) | ℵ0 < 𝔠 < 𝔣 , |
(ii) | ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 , |
(iii) | 𝔠 = 𝔠 + 𝔠 = 𝔠 · 𝔠 , |
(iv) | 𝔣 = 𝔣 + 𝔣 = 𝔣 · 𝔣 , |
(v) | 𝔠 = 2ℵ0 = ℵ0ℵ0 = 𝔠ℵ0 , |
(vi) | 𝔣 = 2𝔠 = ℵ0𝔠 = 𝔠𝔠 = 𝔣𝔠. |
Für alle Mengen M gilt:
|℘(M)| = 2𝔞 falls |M| = 𝔞.
Unsere Hauptsätze schreiben sich nun sehr elegant, denn für alle Kardinalzahlen 𝔞, 𝔟 haben wir:
| (i) | 𝔞 ≤ 𝔟 und 𝔟 ≤ 𝔞 folgt 𝔞 = 𝔟, | (Satz von Cantor-Bernstein) |
| (ii) | 𝔞 ≤ 𝔟 oder 𝔟 ≤ 𝔞, | (Vergleichbarkeitssatz) |
| (iii) | 𝔞 < 2𝔞. | (Satz von Cantor) |
Für alle unendlichen Kardinalzahlen 𝔞 gilt weiter:
(i) | ℵ0 ≤ 𝔞 , |
(ii) | 𝔞 + 1 = 𝔞 , |
(iii) | 𝔞 + ℵ0 = 𝔞 , |
(iv) | 𝔞 + 𝔞 = 𝔞 folgt 2𝔞 · 2𝔞 = 2𝔞. |
Die neuen Kardinalzahlen führen nun nicht nur zu kompakten Notationen, sondern suggerieren Rechengesetze, mit denen sich einige Resultate innerhalb einer Zeile beweisen lassen, etwa |ℝ2| = |ℝ|. Dies verdient einen eigenen Zwischenabschnitt.