Zerlegungen und ein Resultat über |ℝ|

 Wir haben gesehen, dass wir eine unendliche Kardinalzahl nicht als Summe zweier kleinerer Kardinalzahlen darstellen können. Sicher können wir aber 𝔞 als Summe von 𝔞-vielen kleinen Mengen darstellen, etwa trivial als 𝔞 = ∑i  ∈  I 1 mit einer Menge I mit |I| = 𝔞. Eine natürliche Frage ist nun die Untersuchung von Zwischenstufen, bei denen 𝔞 als Summe von weniger als 𝔞-vielen Kardinalitäten, die alle kleiner als 𝔞 sind, dargestellt wird.

Definition (𝔠-zerlegbar)

Seien 𝔞, 𝔠 Kardinalzahlen. 𝔞 heißt 𝔠-zerlegbar, falls gilt:

Es gibt eine Menge I und Kardinalzahlen 𝔟i für i  ∈  I mit:

(i)

|I| = 𝔠,

(ii)

𝔟i < 𝔞 für alle i  ∈  I,

(iii)

∑i  ∈  I 𝔟i = 𝔞.

Wir sagen dann, dass 〈 𝔟i | i  ∈  I 〉 eine 𝔠-Zerlegung von 𝔞 ist.

 Jede Kardinalzahl 𝔞 ≠ 1 ist trivialerweise 𝔞-zerlegbar. Wir können aber leicht recht große Kardinalzahlen konstruieren, die ℵ0-zerlegbar sind:

Übung

Sei 𝔞0 eine Kardinalzahl, und sei A0 eine Menge mit |A0| = 𝔞0. Wir definieren rekursiv für n  ∈  ℕ:

An + 1  =  ℘(An).

Sei nun A = ⋃n  ∈  ℕ An, und sei 𝔞 = |A|. Dann gilt 𝔞 > 𝔞0 und 𝔞 ist ℵ0-zerlegbar.

 Wir können überraschenderweise nun alle ℵ0-zerlegbaren Kardinalzahlen als mögliche Werte der Kardinalität des Kontinuums ausschließen , und also doch ein bisschen mehr über 2ℵ0 herausfinden als nur 2ℵ0 > ℵ0!

Satz (ℵ0-Unzerlegbarkeit von |ℝ|)

Sei 𝔞 eine unendliche Kardinalzahl, und 𝔞 sei ℵ0-zerlegbar. Dann gilt |ℝ| ≠ 𝔞.

Beweis

Sei 𝔠 = 2ℵ0, und seien 𝔟n Kardinalzahlen mit 𝔟n < 𝔠 für alle n  ∈  ℕ.

Dann gilt nach dem Satz von König-Zermelo:

∑n  ∈  ℕ 𝔟n  <  ∏n  ∈  ℕ 𝔠  =   |ℕℝ|  =  𝔠ℵ0  =  (2ℵ0)ℵ0  =  2ℵ0  ·  ℵ0  =  2ℵ0  =  𝔠.

Also ist 〈 𝔟n | n  ∈  ℕ 〉 keine ℵ0-Zerlegung von 𝔠.

 Allgemeiner zeigt das Argument:

Übung

Sei 𝔞 eine unendliche Kardinalzahl. Dann ist 2𝔞 nicht 𝔠-zerlegbar für alle 𝔠 ≤ 𝔞.

 Es gibt also sowohl beliebig große ℵ0-zerlegbare Kardinalzahlen, als auch solche, die nicht 𝔞-zerlegbar sind für ein beliebig großes 𝔞.

 Zerlegungen wurden von Hessenberg und Hausdorff im ersten Jahrzehnt des 20. Jahrhunderts untersucht, wobei sie dort in ordnungstheoretischem Gewande auftreten. Wir kommen bei der Besprechung des Konfinalitätsbegriffs darauf noch zurück. Zerlegungen bzw. Konfinalitäten sind von großer Bedeutung und tauchen in der modernen Mengenlehre an allen Ecken und Enden auf. Für jetzt genügt es uns, etwas über |ℝ| gefunden zu haben, was wir bislang nicht wussten. Dem interessierten Leser sei aber noch eine Übung angeboten.

Übung

Sei 𝔞 eine unendliche Kardinalzahl, und es existiere 𝔞+. Dann ist 𝔞+ 𝔠-unzerlegbar für alle 𝔠 < 𝔞+.

[Benutze 𝔟 ≤ 𝔞 für alle Kardinalzahlen 𝔟 < 𝔞+ und 𝔞 · 𝔞 = 𝔞.]