Mengen aus mathematischen Objekten

 Anstatt mit beliebigen „Objekten der Anschauung oder unseres Denkens“ wie in Cantors intuitiver Beschreibung von 1895 wollen wir uns hier nur mit Objekten der Mathematik beschäftigen. In „a  ∈  b“ sollen also a und b mathematische Objekte bezeichnen.

 Es wäre nicht nötig, neben den Mengen andere Objekte zuzulassen − sogenannte Grund- oder Urelemente −, denn es hat sich gezeigt, dass man alle in der Mathematik gebrauchten Objekte, insbesondere auch die natürlichen Zahlen, geeignet als Mengen interpretieren kann. Für die ersten zwei Abschnitte machen wir der Einfachheit halber die folgende Konvention. Eine gewisse Kenntnis der Grundzahlen setzen wir dabei voraus.

Konvention

Wir setzen für diesen und den nächsten Abschnitt die natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen samt ihren üblichen Rechenoperationen und den natürlichen Ordnungsbeziehungen < und ≤ als gegeben voraus.

Mathematische Objekte (innerhalb der ersten beiden Abschnitte)

(i)

Die mathematischen Grundobjekte (Urelemente) sind:

Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen.

(ii)

Jede Menge ist ein mathematisches Objekt.

 Die mathematischen Objekte bestehen also aus den Grundobjekten und den Mengen. (Die Rechenoperationen und die Ordnungsbeziehung auf den Grundzahlen sind Funktionen und Relationen, die wir als Mengen von geordneten Paaren auffassen, siehe Kapitel 3.)

 Wir halten noch fest: Ist b eine Menge und a  ∈  b, so ist a ein Grundobjekt oder eine Menge.

 Die bescheidene Auswahl der Grundobjekte in (i) geschah lediglich aus Gründen der Definitheit. Insbesondere die natürlichen und die reellen Zahlen werden für die ersten Schritte zur Erkundung unendlicher Mengen eine zentrale Rolle spielen. Wir diskutieren unten wichtige Eigenschaften dieser Zahlen. Der Leser, dem obige Konvention zu eng erscheint, kann zusätzlich beliebige Objekte der Mathematik betrachten, um sich Beispiele für Mengen und Mengen von Mengen zu konstruieren.

 Im dritten Abschnitt werden wir auf Urelemente ganz verzichten. Dass alles aus dem Nichts entsteht ist zwar eine kulturgeschichtlich vertraute Idee, die Erzählung scheint dem Autor aber mit „Im Anfang waren die Zahlen …“ viel flüssiger in Gang zu kommen als mit „Im Anfang war die leere Menge …“.