Einfache Eigenschaften einer Funktion

Die folgenden Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv einer Funktion sind für die Mengenlehre von zentraler Bedeutung.

Definition (injektiv, surjektiv, bijektiv)

Sei f eine Funktion.

(i)	f heißt injektiv,, falls für alle a₁, a₂, b gilt: f (a₁) = b und f (a₂) = b folgt a₁ = a₂. (Linkseindeutigkeit)

(ii)	f heißt surjektiv nach B, falls gilt rng(f) = B, d. h. für alle b  ∈  B existiert ein a  ∈  dom(f) mit f (a) = b. f heißt surjektiv von A nach B, falls f : A → B und f surjektiv nach B.

(iii)

f heißt bijektiv von A nach B, falls gilt:

f ist injektiv und surjektiv von A nach B.

Man beachte, dass „injektiv“ keine Erwähnung von Definitions- und Wertebereich verlangt.

Wir schreiben auch „f : A → B surjektiv“ für „f ist surjektiv von A nach B“. Analog für bijektiv.

Die drei Konzepte kann man sich leicht vor Augen führen:

Anschaulich bedeutet

f : A → B	injektiv:	kein Wert (in B) wird mehrfach angenommen,
	surjektiv:	jeder Wert in B wird angenommen,
	bijektiv:	vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von A und B.

Nur Bijektionen behandeln ihren Definitions- und Wertebereich vollkommen symmetrisch.

Fraenkel (1959) über Bijektionen:

„Grundlegend für alles Folgende ist der Begriff der Abbildung [bei Fraenkel hier = Bijektion]. Wird jedem Element m einer Menge M ein einziges Element n einer Menge N zugeordnet, so spricht man von einer eindeutigen Zuordnung von Elementen aus N zu den Elementen von M; dabei kann natürlich verschiedenen m das nämliche n entsprechen, wie es z. B. der Fall ist, falls n den Vater von m bedeutet. Ist aber die Zuordnung überdies auch eindeutig in der umgekehrten Richtung, d. h. entspricht auch jedem n ein einziges m, wie es z. B. für die Zuordnung zwischen Ehemännern und Ehefrauen in einer monogamen Gesellschaftsordnung zutrifft, so heißt die Zuordnung eineindeutig. Sie wird dann auch eine Abbildung zwischen M und N genannt [= Bijektion zwischen M und N], und die hiermit ausgedrückte Symmetrie zwischen beiden Mengen hinsichtlich der Zuordnung ist offenbar begründet.“

Satz

(i)	Ist f : A → B, so ist f : A → rng(f) surjektiv.

(ii)	Ist f : A → B injektiv, so ist f : A → rng(f) bijektiv.

(iii)

Ist f : A → B bijektiv, so existiert ein g : B → A bijektiv.

Beweis

zu (i) und (ii): Die Behauptungen folgen unmittelbar aus den Definitionen.

zu (iii): Wir setzen

g = { (b, a) | (a, b)  ∈  f }.

Dann ist g : B → A bijektiv.

Um den Leser weiter mit dem Funktionsbegriff und seinen ungewöhnlichen Notationen vertraut zu machen, halten wir noch einige Merkmale in Form von Beispielen fest.

Beispiele

(1)	Nach Definition einer Funktion gilt: Ist f eine Funktion, und ist g ⊆ f, so ist auch g eine Funktion.

(2)	Ist f injektiv, so vererbt sich die Injektivität auf jedes g ⊆ f.

(3)	Sind f und g zwei Funktionen, und gilt f (x) = g(x) für alle x  ∈  dom(f) ∩ dom(g), so ist auch f ∪ g eine Funktion.

(4)

Ist F eine Menge von Funktionen, und gilt f (x) = g(x) für alle f, g  ∈  F und alle x  ∈  dom(f) ∩ dom(g), so ist auch ⋃ F eine Funktion. Verschiedene Funktionen lassen sich also zusammenbauen, wenn sie sich auf ihren Definitionsbereichen verträglich verhalten. Weiter ist immer auch ⋂ F für F ≠ ∅ eine Funktion, denn es gilt ⋂ F ⊆ f für alle f  ∈  F.

Neben diesen definitorischen Spielereien gibt es solche für die Anschauung: Ist f : A → B eine Injektion, so kann man sich f als eine Operation vorstellen, die den Elementen von A Namen aus der Menge B zuweist: Jedes x  ∈  A erhält den Namen − oder den Zettel − f (x)  ∈  B. Injektionen lassen sich so als Umbenennungen auffassen, wenn man vereinbart, dass der ursprüngliche Name von x nichts anderes ist als x selbst. Hintereinandergeschaltete Injektionen entsprechen dann wiederholten Umbenennungen. Eine nicht injektive Funktion f : A → B dagegen kann man sich als eine Operation vorstellen, die bestimmte Elemente von A miteinander identifiziert oder verklebt. Ist f : A → B eine Funktion, so ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf A, wobei x ∼ y, falls f (x) = f (y).