Wie gelangt man zu einer Menge größerer Mächtigkeit?

 Wir haben bisher |ℕ| < |ℝ| und |ℝ| < |𝔉| gezeigt.

 Gibt es ein allgemeines Prinzip oder eine Operation, um von einer beliebigen Menge M zu einer Menge ℳ mit größerer Mächtigkeit als M zu gelangen?

 ℳ = M × M ist ungeeignet, wie wir für M = ℕ und M = ℝ gesehen haben.

Jedoch gilt:

|ℝ| = |℘(ℕ)|.

 Wie sieht es nun mit dem Verhältnis von ℝ und 𝔉 aus? In der Tat gilt hier eine zu ℕ und ℝ analoge Beziehung:

Satz

Es gilt |𝔉| = |℘(ℝ)|.

Beweis

Jedes f  ∈  𝔉 ist eine Teilmenge von ℝ × ℝ, also gilt 𝔉 ⊆ ℘(ℝ × ℝ), also

|𝔉|  ≤  |℘(ℝ × ℝ)|  =  |℘(ℝ)|,

unter Verwendung von |ℝ × ℝ| = |ℝ|.

Andererseits können wir jedem A ⊆ ℝ die Funktion F(A) = indA, ℝ  ∈  𝔉 zuordnen, d. h. es gilt für x  ∈  ℝ:

F(A)(x) =  1,falls x∈A,0,falls x∉A.

Offenbar ist dann F : ℘(ℝ) → 𝔉 injektiv, also |℘(ℝ)| ≤ |𝔉|.

Insgesamt also |𝔉| = |℘(ℝ)|.

Übung

Zeigen Sie

(i)

|𝔉 × 𝔉| = |𝔉|,

(ii)

|ℝ𝔉| = |𝔉|.

 Wir haben |ℕ| < |℘(ℕ)| und |ℝ| < |℘(ℝ)|. Die Potenzmengenoperation ist also ein guter Kandidat für ein allgemeines Prinzip zur Erzeugung von größeren Mächtigkeiten. Bereits im Endlichen liefert sie exponentielles Wachstum: Es gilt |℘(n)| = |n{ 0, 1 }| für alle n  ∈  ℕ, wobei hier wieder n = { 0, 1, … , n − 1 }. Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen hat also 2n Elemente.

 Wir beschäftigen uns mit der Potenzmengenoperation im nächsten Kapitel genauer.