1. Transfinite Operationen

Wir geben in den ersten Kapiteln dieses Abschnitts eine Einführung in die Theorie der Ordinalzahlen. Es handelt sich hierbei um die Fortsetzung der natürlichen Zahlenreihe

0, 1, 2, 3, … 

ins Transfinite:

(+)  0, 1, 2, … , ω, ω + 1, ω + 2, … , ω + ω, ω + ω + 1, … , … , α, α + 1, … , … , …

 Die Elemente dieser Reihe heißen Ordinalzahlen, oder, wie Cantor sie genannt hat, Ordnungszahlen. Die natürlichen Zahlen bilden ein Anfangsstück der Ordinalzahlen. Die erste Ordinalzahl, die größer ist als alle natürlichen Zahlen, wird seit Cantor mit ω bezeichnet, ein Zeichen, das an das Unendlichkeitssymbol erinnert. Ab einschließlich ω werden die Elemente der Reihe transfinite Zahlen genannt.

 Die Idee der Ordinalzahlen ist die folgende: Von irgendeiner Stelle der Reihe können wir eine beliebige Reise nach rechts antreten, Schritt für Schritt, oder auch, indem wir große Abschnitte überspringen. Jede solche Reise hat eine eindeutig bestimmte Ordinalzahl als Ziel, den Limes oder das Supremum aller Schritte. Von dieser Ordinalzahl können wir nun eine neue Reise starten − die Ordinalzahlen sind in diesem Sinne unerschöpflich. Die Länge einer solchen Wanderung entlang der Ordinalzahlen ist dabei auch nicht auf die natürlichen Zahlen beschränkt, sondern wird konsequenterweise wieder durch eine Ordinalzahl beschrieben.

 Anhand der reellen Zahlengeraden kann man sich diese Idee zumindest ein erstes Stück weit vor Augen führen. Wir betrachten hierzu etwa die Menge M = ℕ ∪ { n − 1/k | n, k  ∈  ℕ, n ≥ 1, k ≥ 2 }. M enthält alle natürlichen Zahlen, und zu jeder natürlichen Zahl ungleich Null eine unendliche Folge, die diese Zahl von links approximiert. Versucht man nun, die Elemente von M von links nach rechts durchzuzählen, so wird man zwangsläufig die Schritte dieser Abzählung mit einer Reihe wie in (+) bezeichnen:

Die Menge M visualisiert alle endlichen und transfiniten Ordinalzahlen ω · n + m für n, m  ∈  ℕ, wobei ω · 0 = 0, ω · 1 = ω, ω · 2 = ω + ω, … , ω · (n + 1) = ω · n + ω. Der Limes aller zur Aufzählung von M benötigten Schritte hat die natürliche Bezeichnung ω · ω, er entspricht aber keinem Element der Menge M mehr. Komplizierter ist die folgende Teilmenge der reellen Zahlen:

 Wir betrachten hier ω zunächst nur als ein Symbol, dessen Bedeutung es ist, einen Schritt zu bezeichnen, der sich an unendlich viele, mit den natürlichen Zahlen bezeichnete Schritte anschließt. Eine präzise Definition von ω und den anderen transfiniten Zahlen geben wir im weiteren Verlauf dieses Abschnitts, nachdem wir uns den Begriff der Ordinalzahl inhaltlich vertraut gemacht haben.

 Wir werden zeigen, dass dem Zählprozess über die natürlichen Zahlen hinaus nichts Vages oder Mystisches anhaftet, und dass die Ordinalzahlen mit gutem Recht als Zahlen bezeichnet werden können. Mit ihrer Hilfe können wir die Elemente jeder beliebigen endlichen oder unendlichen Menge durchzählen und numerieren. Wir zählen die Elemente einer Menge entlang obiger Reihe (+) auf, bis die Menge M erschöpft ist.

 Es zeigt sich, dass die Reihe der Ordinalzahlen unermesslich lang ist. Wie „weit draußen“ eine Ordinalzahl α liegen kann, ist bis heute Gegenstand der mengentheoretischen Forschung (wobei hier nicht das Fehlen einer unstrittigen Definition der Ordinalzahlen gemeint ist, sondern Fragen der Form „Existiert eine Ordinalzahl mit den und den Eigenschaften?“ ). In jedem Falle gibt es aber ungeheuer viele Ordinalzahlen: Wie wir sehen werden, bilden die Ordinalzahlen eine echte Klasse − es gibt ihrer zu viele, als dass sie ein „fertiges Ganzes“ bilden könnten. In einer geeigneten Schichtung des Universums V durch Ränge kann man sie sich als − im Rang unbeschränkte − senkrechte Mittelachse von V vorstellen.

 Eine formale Begründung der Ordinalzahltheorie, des „Gehirns der Mengenlehre“, innerhalb einer axiomatischen Festung ist sicher wünschenswert, zumal man durch die Ordinalzahlen in natürlicher Weise an die Grenzen des mengentheoretischen Universums gelangt, wo die Physik eine andere wird. Die Ideen und Intuitionen hinter den Ordinalzahlen sind aber, wie im Fall der Mächtigkeitstheorie, unabhängig von einem formalen Rahmen, und gehen ihm unbedingt voraus.

 In Übereinstimmung mit der historischen Entwicklung gesellt sich einer informalen Diskussion der Ordinalzahlen in natürlicher Weise ein weiteres Themengebiet der Cantorschen Forschung hinzu, nämlich die Untersuchung von Teilmengen reeller Zahlen − „linearen Punktmannigfaltigkeiten“ in den Worten Cantors. Seine Arbeiten in diesem Gebiet wurden zum Ausgangspunkt zweier weiterer neuer mathematischer Disziplinen des 20. Jahrhunderts, der Topologie und der Maßtheorie, und die Begriffe, die wir hier anhand der reellen Zahlen entwickeln, stehen heute in sehr allgemeiner Form in den Eingangshallen des mathematischen Gesamtgebäudes. Innerhalb der Mengenlehre werden die Cantorschen Ideen zur Untersuchung der reellen Zahlen von der deskriptiven Mengenlehre fortgeführt.

Drei Ansatzpunkte für transfinite Zahlen

 Das Zählen über die natürlichen Zahlen hinaus hat sich bisher bereits an mehreren Stellen fast von selbst aufgedrängt:

 Bevor wir aus den Gemeinsamkeiten dieser drei Punkte die Ordinalzahlen herauslösen, behandeln wir im nächsten Kapitel ein weiteres Beispiel − dasjenige Beispiel, an Hand dessen Cantor die Ordinalzahlen entdeckte. Einer der ersten Erfolge Cantors als Mathematiker war der Beweis eines Eindeutigkeitssatzes über die Entwicklung einer Funktion in eine trigonometrische Reihe. Erweiterungen dieses Satzes − im Hinblick auf zulässige Ausnahmemengen für die Konvergenz der Reihe − führten Cantor zur Untersuchung bestimmter Teilmengen reeller Zahlen. Diese Untersuchung nahm bald einen abstrakten Charakter an und entwickelte eine Eigendynamik, aus der schließlich neben der Mengenlehre auch die Topologie und die Maßtheorie hervorgehen sollten.

 Wir beenden dieses Kapitel mit einer Bemerkung von Felix Hausdorff, die eine Haltung ausdrückt, die unserer Unbekümmertheit gegenüber den aufgetretenen Paradoxien entspricht: Diese Paradoxien bedürfen zwar langfristig einer Klärung, jedoch ist dies im Hinblick auf eine inhaltliche Weiterentwicklung der Cantorschen Mengenlehre nicht vorrangig.