Absteigende Folgen abgeschlossener Mengen
Definition (⊂-absteigende Folgen von Teilmengen von ℝ)
Eine Folge 〈 Xα | α < β 〉 von Mengen heißt ⊂-absteigend (oder strikt absteigend bzgl. der Inklusion), falls gilt:
Für alle α, α′ < β mit α < α′ gilt Xα′ ⊂ Xα.
Analog sind ⊆-absteigend, ⊂-aufsteigend (Xα ⊂ Xα′ für α < α′ < β) und ⊆-aufsteigend definiert.
Allgemein können ⊂-absteigende Folgen von linearen Punktmengen überabzählbare Länge haben:
Übung
Es gibt eine ⊂-absteigende Folge 〈 Xα | α < ω1 〉 von Teilmengen von ℝ.
[Sei f : W(ω1) → ℝ injektiv. Wir setzen Xα = ℝ − f″W(α) für α < ω1.]
Fordern wir aber zusätzlich, dass die Folge aus abgeschlossenen Teilmengen von ℝ gebildet ist, so ist ein derartig langsamer Abstieg nicht mehr möglich, wie wir nun zeigen wollen. Entscheidend verwenden wir hierbei die folgende Konsequenz der Separabilität von ℝ: Jedes offene reelle Intervall enthält ein offenes Intervall mit rationalen Endpunkten.
Definition (rationales Intervall)
Sei I = ] a, b [ ein offenes reelles Intervall mit a, b ∈ ℚ. Dann heißt I ein offenes rationales Intervall.
Übung
(i) | Sei I = ] a, b [ ein nichtleeres reelles Intervall, und sei x ∈ I. Dann existiert ein nichtleeres rationales Intervall J = ] a′, b′ [ mit x ∈ J und J ⊆ I. |
(ii) | Ist Q ⊆ ℝ offen, so ist Q = ⋃ { I | I ⊆ Q, I rationales Intervall }. |
(iii) | Die Menge der rationalen offenen Intervalle ist abzählbar. [ℚ × ℚ ist abzählbar.] |
Ist 〈 Pα | α < β 〉 eine ⊂-absteigende Folge von Teilmengen von ℝ, und enthält Pα − Pα + 1 für alle α < β eine rationale Zahl, so ist β offenbar abzählbar. Die Differenz A − B zweier abgeschlossener Teilmengen B ⊂ A enthält aber i. A. keine rationale Zahl. Jedoch führt eine Verfeinerung dieser Idee zum Ziel: Es gibt ein offenes rationales Intervall, das A trifft, aber zu B disjunkt ist. Diese Beobachtung bildet das Herz des folgenden Beweises.
Satz (über die Länge absteigender Folgen von abgeschlossenen Mengen)
Sei 〈 Pα | α < β 〉 eine ⊂-absteigende Folge abgeschlossener Teilmengen von ℝ. Dann ist β abzählbar.
Beweis
Sei I0, I1, I2, … eine Aufzählung aller offenen nichtleeren rationalen Intervalle in ℝ. Für α < β definieren wir Nα ⊆ ℕ durch
Nα = { n ∈ ℕ | In ∩ Pα ≠ ∅ }.
Dann gilt:
(+) 〈 Nα | α < β 〉 ist ⊂-absteigend.
Beweis von (+)
Offenbar gilt Nα′ ⊆ Nα für alle α < α′ < β. Es genügt zu zeigen:
Nα + 1 ⊂ Nα für alle α mit α + 1 < β.
Sei also α + 1 < β. Wegen Pα + 1 ⊂ Pα gibt es ein x ∈ Pα − Pα + 1. Dann gilt
Nx = { n ∈ ℕ | x ∈ In } ⊆ Nα.
Wäre nun Pα + 1 ∩ In ≠ ∅ für alle n ∈ Nx, so wäre x ein Häufungspunkt von Pα + 1. Aber x ∉ Pα + 1, im Widerspruch zur Abgeschlossenheit von Pα + 1. Also existiert ein n ∈ Nx ⊆ Nα mit n ∉ Nα + 1. Dies zeigt (+).
Also ist 〈 Nα | α < β 〉 eine ⊂-absteigende Folge von Teilmengen von ℕ. Dann ist aber β abzählbar, denn die Funktion g : dom(g) → ℕ mit
g(α) = min(Nα − Nα + 1) für alle α mit α + 1 < β
ist injektiv.
Übung
Zeigen Sie, dass auch ⊂-aufsteigende Folgen abgeschlossener Mengen abzählbare Länge haben. Ebenso sind ⊂-aufsteigende oder ⊂-absteigende Folgen offener Mengen abzählbar.
Hausdorff (1914):
„Eine auf- oder absteigende wohlgeordnete Menge verschiedener Gebiete [offener Mengen] oder abgeschlossener Mengen ist höchstens abzählbar.“
Aus dem Satz ergibt sich, dass die Folge der Ableitungen einer abgeschlossenen Menge nach abzählbar vielen Schritten in einer perfekten Menge terminiert, denn andernfalls hätten wir mit P(1) ⊃ … ⊃ P(α) ⊃ P(α + 1) ⊃ … eine überabzählbare ⊂-absteigende Folge abgeschlossener Mengen vor uns.
Damit ist die erste Frage beantwortet: Abzählbar viele Schritte genügen, um in der Folge der Ableitungen einen stabilen Zustand zu erreichen.
Der Satz von Cantor-Bendixson macht nun zudem eine Aussage über die während der Ableitung verlorengegangenen Punkte.