Die Cantor-Bendixson-Zerlegung

Satz (Mächtigkeit der isolierten Punkte einer Menge)

Sei P ⊆ ℝ. Dann ist die Menge R = P − P′ der isolierten Punkte von P abzählbar.

Beweis

Sei wieder I₀, I₁, I₂, … eine Aufzählung aller offenen nichtleeren rationalen Intervalle in ℝ. Für alle x  ∈  R sei

f (x) = „das kleinste n  ∈  ℕ mit x  ∈  I_n und I_n ∩ P = { x }“.

f (x) ist wohldefiniert, da x ein isolierter Punkt von P ist. Dann ist f : R → ℕ injektiv, denn für x, y  ∈  R mit f (x) = f (y) ist

{ x } = I_f (x) ∩ P = I_f (y) ∩ P = { y } ,

also x = y. Also ist R abzählbar.

Damit erhalten wir nun den zusammenfassenden Satz:

Satz (Satz von Cantor-Bendixson)

Sei P ⊆ ℝ abgeschlossen. Dann existieren A, P* ⊆ P mit:

(i)	P* ∩ A = ∅, P* ∪ A = P,

(ii)	P* = P^(α) für ein abzählbares α,

(iii)

P* ist perfekt, A ist abzählbar.

Beweis

Wir setzen:

α*	= „das kleinste α mit P^(α) = P^(α + 1)“,
P*	= P^(α*).

Nach dem Satz über die Länge ⊂-absteigender Folgen abgeschlossener Mengen existiert α* und ist abzählbar. Offenbar ist P* ⊆ P perfekt. Für α < α* sei R_α = P^(α) − P^(α + 1) die Menge der isolierten Punkte von P^(α). Sei dann

A = ⋃_α < α* R_α.

Dann ist A als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen abzählbar.

Offenbar gilt

P = P* ∪ A und P* ∩ A = ∅.

Definition (Cantor-Bendixson-Zerlegung)

Sei P ⊆ ℝ abgeschlossen. Dann heißt die im obigen Beweis konstruierte Zerlegung

P = P* ∪ A

die Cantor-Bendixson-Zerlegung von P. A heißt die Menge der verborgen isolierten Punkte von P.

Cantor (1884b):

„Theorem E′. Ist P eine abgeschlossene Punktmenge von höherer als der ersten Mächtigkeit [P überabzählbar], so zerfällt P und zwar nur auf eine Weise in eine [nichtleere] perfekte Menge S und eine Menge von der ersten Mächtigkeit [hier: höchstens abzählbar] R, so dass

P ≡ R + S

und es existiert eine kleinste der ersten oder zweiten Zahlenklasse zugehörige [abzählbare] Zahl α, so dass P^(α) gleich S wird.“

Die Eindeutigkeit der Zerlegung einer abgeschlossenen Menge in einen perfekten und einen abzählbaren Teil zeigen wir unten. Hier halten wir noch ein einfaches Korollar fest:

Korollar

Sei P ⊆ ℝ, und sei P^(α) abzählbar für ein α. Dann ist P abzählbar.

Beweis

Nichttrivial ist nur der Fall α ≥ 1. Sei P⁽¹⁾ = P* ∪ A die Cantor-Bendixson-Zerlegung der abgeschlossenen Menge P⁽¹⁾. Dann ist P* abzählbar, denn P* ist Teilmenge jeder Ableitung P^(α) von P. Wegen A abzählbar ist also P⁽¹⁾ abzählbar. Aber R = P − P⁽¹⁾ ist abzählbar, also ist P = P⁽¹⁾ ∪ R abzählbar.

Cantor (1884b):

„Theorem B. Ist α irgendeine Zahl der ersten oder zweiten Zahlenklasse [α abzählbar] und P … eine Punktmenge von solcher Beschaffenheit, dass:

P^(α) ≡ 0,

so ist P⁽¹⁾ sowohl wie auch P von der ersten Mächtigkeit [abzählbar unendlich], es sei denn, dass P resp. P⁽¹⁾ endliche Mengen sind.“

Aus dem Satz von Cantor-Bendixson folgt, dass jede überabzählbare abgeschlossene Menge immer einen überabzählbaren perfekten Kern enthält. Umgekehrt stellt sich die Frage:

Kann eine abzählbare abgeschlossene Menge einen nichtleeren Kern haben?

Dieser Frage wollen wir uns nun zuwenden.