12. Die Mächtigkeiten abgeschlossener Mengen

In diesem Kapitel untersuchen wir die perfekten und allgemeiner die abgeschlossenen Mengen genauer. Wir wissen, dass nichtleere perfekte Mengen überabzählbar sind. Nun zeigen wir stärker, dass sie immer die Mächtigkeit des Kontinuums besitzen. Aus der Cantor-Bendixson-Zerlegung können wir dann die möglichen Mächtigkeiten der abgeschlossenen Mengen ablesen.

 Jede nichtleere offene Menge enthält ein reelles Intervall. (Hier und im Folgenden meint „P enthält ein Intervall“ immer „P enthält ein nichttriviales Intervall“, d. h. es gibt a, b  ∈  ℝ mit a < b und [ a, b ] ⊆ P. Dies vereinfacht viele Formulierungen.) Gilt etwas Ähnliches für die abgeschlossenen Mengen? Beispiele für abgeschlossene Mengen sind abzählbare Punktmengen wie { 0 } , { 1/n | n ≥ 1 } ∪ { 0 }, ℤ usw., und des weiteren abgeschlossene Intervalle [ a, b ]. Sind nun alle abgeschlossenen Mengen Kombinationen dieser beiden Typen? Konkreter: Enthält jede überabzählbare abgeschlossene Menge ein Intervall? Es ist ein nichttriviales Problem, ein Gegenbeispiel zu konstruieren! Ein Gegenbeispiel werden wir nun kennenlernen, und später zeigen, dass es das Gegenbeispiel ist.