Nirgends dichte und magere Mengen

Die Frage, ob jede überabzählbare abgeschlossene Menge ein Intervall enthält, wird durch die Cantormenge also negativ beantwortet. Eine Abschwächung der Frage ist: Enthält eine überabzählbare abgeschlossene Menge immer eine rationale Zahl als Element? Für die Cantormenge ist dies richtig. Im Allgemeinen ist jedoch auch diese Eigenschaft nicht erfüllt:

Hausdorff (1914):

„Aber auch abgeschlossene Mengen mit nichtverschwindendem Kern, z. B. perfekte Mengen, können nirgends dicht sein [müssen keine nichttrivialen Intervalle enthalten]. Um auf der geraden Linie eine solche zu bilden, verstehen wir unter Δ eine offene Strecke (a < x < b) und unter

G = Δ₁ + Δ₂ + … = Σ Δ_n

eine Summe von abzählbar vielen, paarweise fremden Strecken, also ein lineares Gebiet [eine offene Teilmenge von ℝ] … Damit das Komplement F perfekt werde, vermeiden wir bei der sukzessiven Wahl der Strecken Δ₁, Δ₂, … , dass zwei von ihnen mit einem Endpunkt zusammenstoßen, der ja sonst ein isolierter Punkt von F sein würde;

die Figur zeigt den Anfang einer solchen Streckenwahl. Um endlich G dicht, also F nirgendsdicht zu machen, lassen wir G etwa die Menge R = { r₁, r₂, … } der rationalen Zahlen einschließen; wir wählen alle Δ_n mit irrationalen Endpunkten, bedecken r₁ mit Δ₁, das erste (mit niedrigstem Index behaftete) von Δ₁ nicht eingeschlossene r_β mit Δ₂, das erste von Δ₁ + Δ₂ nicht eingeschlossene r_γ mit Δ₃ usw. Hiermit wird R ⊆ G, also G auf der ganzen Linie dicht. Wir werden sehen, dass die perfekte Menge F die Mächtigkeit des Kontinuums hat. Mengen so hoher Mächtigkeit können also nirgendsdicht sein. Man kann sogar, wenn δ_n die Länge der Strecke Δ_n bedeutet, die Summe Σ δ_n (das ‚Längenmaß‘ von G) konvergent und beliebig klein machen, was ja mit der angegebenen Konstruktion verträglich ist; Gebiete [offene Mengen] von beliebig kleinem Längenmaß können also die ganze Gerade dicht erfüllen.

Natürlich kann man diese Konstruktion mannigfach abändern. Ein Beispiel (wo allerdings Σ δ_n divergiert) ist das folgende: die Menge bestehe aus allen Zahlen, die eine Dezimalbruchentwicklung … zulassen, in der eine der Ziffern 1 − 8 nicht vorkommt, etwa die Ziffer 3 … Das erste Beispiel dieser Art wurde von G. Cantor gegeben, nämlich die Menge der Zahlen, in deren triadischer Entwicklung … die Ziffer 1 nicht vorkommt.“

Die hier rekursiv konstruierte Menge F = ℝ − G = ℝ − ⋃_{n  ∈  ℕ} Δ_n ist also eine perfekte Menge mit F ∩ ℚ = ∅. Während der Konstruktion von F wird sichergestellt, dass alle rationalen Zahlen in einem entfernten Intervall (einem Δ_n) liegen.

Die angedeutete Variation des Längenmaßes von G während dieser Konstruktion wollen wir noch etwas genauer betrachten. Sei σ  ∈  ℝ, σ > 0. Weiter wählen wir eine Folge 〈 ε_n | n  ∈  ℕ 〉 von positiven reellen Zahlen, deren Summe gegen σ konvergiert, etwa ε_n = σ/2^n + 1 für n  ∈  ℕ. Bei der von Hausdorff durchgeführten Konstruktion können wir immer Δ_n = ] a_n, b_n [ so klein wählen, dass das Maß b_n − a_n von Δ_n kleinergleich ε_n wird. Dann haben wir während der Konstruktion von F = ℝ − ⋃_{n  ∈  ℕ} Δ_n insgesamt höchstens eine Menge vom Maß σ aus ℝ entfernt. F ist also fast ganz ℝ, enthält aber dennoch kein Intervall. Umgekehrt ist das Komplement G = ⋃_{n  ∈  ℕ} Δ_n allenfalls von der Länge σ, enthält aber für jedes nichtleere reelle Intervall I eine Menge Δ_n ∩ I ≠ ∅, also ein Teilintervall von I!

Die Diskussion legt folgende Begriffe nahe.

Definition (nirgends dicht, mager)

Sei P ⊆ ℝ. P heißt nirgends dicht, falls cl(P) = P ∪ P′ keine nichttrivialen Intervalle enthält. P heißt mager, falls P eine abzählbare Vereinigung von nirgends dichten Mengen ist. P heißt komager, falls ℝ − P mager ist.

P nirgends dicht ist äquivalent zu int(cl(P)) = ∅. P ist nirgends dicht genau dann, wenn cl(P) nirgends dicht ist. Die Cantormenge C ist nirgends dicht.

Magere Mengen können dicht in ℝ sein: Jede abzählbare Menge ist mager, und insbesondere ist also ℚ mager. Dagegen zeigt eine einfache Variante von Cantors erstem Beweis der Überabzählbarkeit von ℝ, dass die Bezeichnung „mager“ wirklich gerechtfertigt ist: ℝ ist nicht mager. Die mageren Mengen bilden dann offenbar ein ω₁-vollständiges Ideal auf ℝ (und die komageren Mengen einen ω₁-vollständigen Filter).

Satz (Bairescher Kategoriensatz)

Sei U ⊆ ℝ offen und nichtleer. Dann ist U nicht mager.

Beweis

Sei U ⊆ ℝ offen und nichtleer, und seien P_n ⊆ ℝ nirgends dicht für n  ∈  ℕ. Wir konstruieren ein x*  ∈  U mit x*  ∉  P_n für alle n  ∈  ℕ. Dann ist also ⋃_n < ω P_n ≠ U. U ist also nicht mager. Sei I_k = ] a_k, b_k [, k < ω, eine Aufzählung aller nichttrivialen rationalen Intervalle. Wir definieren rekursiv k_n für n < ω durch:

k₀	= „das kleinste k mit [ a_k, b_k ] ⊆ U“,
k_n + 1	= „das kleinste k > k_n mit [ a_k, b_k ] ⊆ I_{k_n} − P_n“.

[Ein solches k existiert, da P_n nicht dicht in I_{k_n} ist.]

Sei [ x, y ] = ⋂_k < ω [ a_{k_n}, b_{k_n} ], also

x = sup_n < ω a_{k_n},

y = inf_n < ω b_{k_n}.

Dann ist x ≤ y und [ x, y ] ∩ ⋃_n < ω P_n = ∅. Also ist x* = x wie gewünscht.

Der Bairesche Kategoriensatz findet sich in [Baire 1899]. Magere Mengen nennt man auch „von erster Kategorie“, nicht magere Mengen „von zweiter Kategorie“. Der Satz sagt dann: Nichttriviale offene Mengen sind von zweiter Kategorie.

Der Beweis ist lediglich eine Verfeinerung des ersten Cantorschen Beweises der Überabzählbarkeit von ℝ. Wir erhalten also keinen wirklich neuen Beweis der Überabzählbarkeit von ℝ aus dem Baireschen Kategoriensatz durch das Argument: Jede abzählbare Menge ist mager. ℝ ist jedoch nicht mager, also überabzählbar. Andererseits suggeriert der Beweis die folgende Version von Cantors erstem Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen:

Variante des ersten Cantorschen Überabzählbarkeitsbeweises

Für reelle a < b seien

L(I) = [ a, a + (b − a)/3 ], R(I) = [ b − (b − a)/3, b ]

das linke und rechte Drittelintervall von I = [ a, b ]. (De facto sind zwei beliebige disjunkte abgeschlossene nichtleere Teilintervalle von I geeignet.) Seien nun x₀, x₁, …, x_n, …, n < ω, reelle Zahlen in I₀ = [ a, b ]. Wir definieren rekursiv Intervalle I_n für n < ω durch:

$I_{n + 1} = { \begin{matrix} L (I_{n}), & falls x_{n} \in R (I_{n}), \\ R (I_{n}), & sonst. \end{matrix}$

Sei J = ⋂_n < ω I_n. Dann ist J ≠ ∅ und x_n  ∉  J für alle n < ω. Also ist I überabzählbar.

Abgeschlossene Teilmengen von ℝ sind genau dann nicht mager, wenn sie ein nichttriviales Intervall enthalten. Andernfalls sind sie sogar nirgends dicht.

Für den dualen Begriff der komageren Mengen gilt:

Übung

(a)

Sei A ⊆ ℝ. Dann sind äquivalent:

(i)	A ist nirgends dicht.

(ii)	ℝ − A enthält eine offene dichte Teilmenge.

[direkt oder mit: int(ℝ − A) = ℝ − cl(A), cl(ℝ − A) = ℝ − int(A).]

(b)	Ist A ⊆ ℝ komager, so ist A dicht in ℝ.

(c)	Ist U_n offen und dicht in ℝ für n  ∈  ℕ, so ist ⋂_{n  ∈  ℕ} U_n komager, und insbesondere dicht in ℝ.

Der Schnitt über abzählbar viele offene dichte Teilmengen von ℝ ist i. A. nicht mehr offen, und kann sogar ein leeres Inneres haben: Betrachte etwa U_q = ℝ − { q } für q  ∈  ℚ. Er ist aber immer komager, was viel stärker ist als dicht.

Obige Konstruktion von Hausdorff zeigt: Es gibt ein Zerlegung von ℝ in Mengen A, B mit: A hat Maß Null, B ist mager. Hierzu wird die Konstruktion abzählbar oft durchgeführt, mit einer Folge von σ_n > 0, die gegen Null konvergiert. Diese liefert jeweils nirgends dichte F_n und offene dichte G_n wie oben. Dann hat A = ⋂_n < ω G_n ein Maß kleiner σ_n für alle n, also Maß 0, und B = ℝ − A = ⋃_n < ω F_n ist mager. Die beiden Begriffe einer kleinen Teilmenge von ℝ, die durch „Maß Null“ und „mager“ gegeben werden − d. h. mathematisch: die zugehörigen Ideale − sind also völlig verschieden.

Wir haben hier den Begriff „Längenmaß“ eher intuitiv behandelt. Eine kurze offizielle Definition von „A hat (Lebesguesches) Längenmaß 0“ für ein A ⊆ ℝ ist: Für alle σ  ∈  ℝ, σ > 0 gibt es Intervalle I_n = [ a_n, b_n ], n < ω, a_n ≤ b_n, mit A ⊆ ⋃_n < ω I_n und ∑_n < ω b_n − a_n < σ. Die Mengen vom Maß 0 bilden dann ein ω₁-vollständiges Ideal, wie man leicht zeigt.

Bevor wir nun den Ordnungstyp ξ der Cantormenge genauer untersuchen, wollen wir mit dem durch die Cantormenge geschärften Auge noch einmal einen Blick auf die verborgen isolierten Punkte einer abgeschlossenen Menge werfen − und auf die Fallstricke der Theorie.