Nachfolger- und Limesordinalzahlen

 Für Wohlordnungen hatten wir allgemein Nachfolger- und Limeselemente definiert, sowie die Operationen der Enderweiterung um ein Element und der Vereinigung einer Menge vergleichbarer Wohlordnungen. Diese Begriffe übertragen wir nun auf die Ordinalzahlen.

Definition (Nachfolger einer Ordinalzahl)

Sei α eine Ordinalzahl. Dann ist der Nachfolger α + 1 von α definiert durch:

α + 1  =  o. t.(〈 W(α), < 〉 + { x }),

wobei x ein Objekt ist mit x  ∉  W(α).

Wir können hier z. B. x = α wählen.

Definition (Nachfolgerordinalzahlen und Limesordinalzahlen)

Sei α eine Ordinalzahl.

(i)

α heißt Nachfolgerordinalzahl, falls α = β + 1 für eine Ordinalzahl β.

In diesem Fall heißt β der Vorgänger von α, in Zeichen β = α − 1.

(ii)

α heißt Limesordinalzahl, falls α ≠ 0 und α keine Nachfolgerordinalzahl ist.

 Nach Definition ist jede Ordinalzahl α entweder 0 oder eine Nachfolgerordinalzahl oder eine Limesordinalzahl.

 Offenbar ist α eine Nachfolgerordinalzahl, falls α ein Nachfolgerelement in 〈 W(β), < 〉 ist für ein (alle) β > α. Analoges gilt für Limesordinalzahlen.

Übung

(i)

α + 1 ist die kleinste Ordinalzahl, die größer ist als α.

(ii)

α ist Limesordinalzahl  gdw  α ≠ 0 und 〈 W(α), < 〉 hat kein größtes Element.

 Ist A eine Menge von Ordinalzahlen, so ist Γ = { 〈 W(α), < 〉 | α  ∈  A } eine Menge von Wohlordnungen mit der Eigenschaft: Sind 〈 M, < 〉 und 〈 N, < 〉 verschiedene Elemente von Γ, so ist 〈 M, < 〉 ein Anfangsstück von 〈 N, < 〉 oder umgekehrt. Also ist ⋃ Γ definiert.

Definition (Supremum einer Menge von Ordinalzahlen)

Sei A eine Menge von Ordinalzahlen. Dann ist das Supremum von A, in Zeichen sup(A), definiert durch:

sup(A)  =  o. t.(⋃ { 〈 W(α), < 〉 | α  ∈  A }).

 Speziell ist sup(∅) = 0, denn o. t.(〈 ∅, ∅ 〉) = 0.

Übung

Sei A eine Menge von Ordinalzahlen, und sei σ = sup(A).

Dann ist σ die kleinste Ordinalzahl mit A ≤ σ, d. h. es gilt:

(i)

für alle α  ∈  A ist α ≤ σ,

(ii)

ist σ′ eine Ordinalzahl mit α ≤ σ′ für alle α  ∈  A, so ist σ ≤ σ′.

 In Kapitel 13 dieses Abschnitts werden wir die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sich zu jeder Menge A von Ordinalzahlen eine größere Ordinalzahl finden lässt, etwa sup(A) + 1, genauer betrachten.

 Eine zuweilen nützliche Spielerei mit Definitionen ist:

Übung

Sei α eine Ordinalzahl, α ≠ 0. Dann gilt:

(i)

α ist Limesordinalzahl  gdw  sup(W(α)) = α.

(ii)

Ist sup(W(α)) ≠ α, so ist sup(W(α)) = α − 1.

Beispiele

sup(W(17)) = 16,  sup(W(ω)) = ω.