Große Kardinalzahlen

 Aus der Gleichung cf (ℵ_λ) = cf (λ) für Limesordinalzahlen λ folgt, dass Regularität für überabzählbare Limeskardinalzahlen nur für sehr große Zahlen möglich ist: Ist λ eine Limesordinalzahl derart, dass ℵ_λ regulär ist, so ist

ℵ_λ  =  cf (ℵ_λ)  =  cf (λ)  ≤  λ  ≤  ℵ_λ.

Also ist ℵ_λ = λ, d. h. λ ist ein Fixpunkt der Alephreihe. Wir wissen, dass Fixpunkte der Alephreihe existieren, aber Regularität ist für Fixpunkte der Alephreihe eine starke Forderung − i.a. ist die Konfinalität eines Fixpunktes ℵ_λ = λ der Alephreihe echt kleiner als λ, und damit ist ℵ_λ nicht regulär.

 Die Frage nach der Existenz von überabzählbaren regulären Limeskardinalzahlen ist ein „Sesam, öffne dich!“ am Eingangsportal zum Reich der großen Kardinalzahlen. Wir definieren:

 Die schwach unerreichbaren Kardinalzahlen sind also genau die Limeskardinalzahlen ℵ_λ mit cf (λ) = λ = ℵ_λ. Hausdorff stieß in seiner Untersuchung des Konfinalitätsbegriffs 1908 auf diese Zahlen:

 Sechs Jahre später schreibt er:

 Die „exorbitante Größe“ zeugt von der Irritation, die das Suchen einer schwach unerreichbaren Kardinalzahl entlang der Alephreihe auslösen kann. Sie liegen außerhalb des Orbits, außerhalb des Gewöhnlichen und des Üblichen. Die Reaktion ist nur natürlich, und es hilft vielleicht dem Leser, der nun unweigerlich mit tiefen mathematischen Existenzfragen konfrontiert werden wird, dass der Entdecker dieser Zahlen auch einige Jahre nach dem Erstkontakt mit dem Phänomen ihnen einen eher abgelegenen Platz in der Mengenlehre prophezeit hat, einfach weil sie einen Platz weit draußen im Universum einnehmen. Für „die üblichen Zwecke“ der Mengenlehre wurden ihre stark unerreichbaren Verwandten bereits 1930 bedeutsam, als Zermelo „Grenzzahlen“ untersuchte. Sie erscheinen dann als Indikatoren α von Stufen V_α, in denen die ganze übliche Mengenlehre gilt. Weiter erwiesen sie sich als die Kleinsten unter den Großen, und noch viel größere Kardinalzahlen haben erstaunliche Konsequenzen sogar für „die üblichen Zwecke“ nicht nur der Mengenlehre, sondern der Mathematik selber. Sie liefern uns durch eine immer wieder verblüffende intergalaktische Korrespondenz Beweise für Aussagen, die die reellen Zahlen betreffen. Große Kardinalzahlen können, so der Platoniker, keine Aussagen über kleine Objekte wahr oder falsch machen, aber sie können uns die Möglichkeit in die Hand geben, solche Aussagen zu beweisen. Dass es natürliche Aussagen über ℝ sind, die mit der Hilfe großer Kardinalzahlen beweisbar werden, ist um so erfreulicher. Wir kommen später noch darauf zurück.

 Ist nicht auch ε₀, der erste Fixpunkt der Ordinalzahlexponentiation von einer „exorbitanten Größe“? Die Frage ist immer, welche Operationen man zulässt, um „groß aus der Sicht von unten“ einen intuitiven Sinn zu geben. Fixpunkte der Ordinalzahlexponentiation und der Alephreihe sind ebenfalls groß in einem gewissen Sinn. Der Unterschied zu unerreichbaren Kardinalzahlen ist, dass wir die Existenz von solchen Fixpunkten mit den üblichen Methoden beweisen können, während wir die Existenz von unerreichbaren Kardinalzahlen mit den üblichen Methoden nicht beweisen können (definitiv nicht, wie man heute weiß). Aber was macht das Übliche der üblichen Methoden aus? Starke Systeme beweisen mehr Aussagen, also ist die platonische Suche nach starken wahren Theorien nur natürlich. Ein Punkt, der große Kardinalzahlen von Aussagen wie (CH) und non(CH) unterscheidet − die beide für sich auch Systemverstärkungen bilden würden −, ist, dass große Kardinalzahlen unmittelbar die Ordinalzahlen betreffen, das intrinsisch reichhaltige und unerschöpfliche Grundkonzept der Mengenlehre selber. Warum sollte der unerschöpfliche Pfad der Ordinalzahlen einen Ort nicht erreichen, den er erreichen könnte? Wir hören auch nicht unmittelbar vor ω₁ auf. Der Leser wird sagen: Haben wir nicht bewiesen, dass ω₁ existiert? Natürlich haben wir, aber der Beweis ruht letztendlich auch auf irgendwelchen Annahmen. Die „üblichen Methoden“ generieren in recht subtiler Weise eine schon recht reichhaltige Mengenlehre. Es ist konzeptionell keineswegs klar, dass „es gibt eine schwach unerreichbare Kardinalzahl“ nicht eine ebenso natürliche Annahme ist wie ein mehr oder weniger genau spezifiziertes Bündel von Grundintuitionen über Mengen, das „ω₁ existiert“ garantiert. Große Kardinalzahlen sind der Kaffee für die Müdigkeit des Üblichen, und sie regen dazu an, über die Üblichkeit des Üblichen genauer nachzudenken.

 Die fraglichen Kardinalzahlen heißen heute nicht „exorbitante Kardinalzahlen“ sondern „unerreichbare Kardinalzahlen“, was sehr gut ihr Wesen trifft. Die Bezeichnung stammt von Kuratowski („nombres cardinaux inaccessibles“). Der oben erwähnten Idee „V_α-Stufen bilden Modelle der üblichen Mengenlehre“ folgend gibt man heute Kardinalzahlen mit einer zusätzlichen Eigenschaft den Vorzug:

 Wir finden also Kardinalzahlen, die viele Bedingungen der starken Unerreichbarkeit erfüllen, „lediglich“ die Regularität macht, wie für die schwache Unerreichbarkeit, Schwierigkeiten. Schwach unerreichbar heißt also „regulär und Fixpunkt der Alephreihe“. Unerreichbar heißt stärker „regulär und Fixpunkt der Bethreihe“.

 Ein großes Kardinalzahlaxiom behauptet die Existenz einer Kardinalzahl, die, wenn sie denn existiert, intuitiv sehr groß sein muss. So ist etwa

(U)  =  „es existiert eine unerreichbare Kardinalzahl“

ein großes Kardinalzahlaxiom, wobei unerreichbar immer stark unerreichbar meint. Was genau eine große Kardinalzahl ist, lässt sich vielleicht gar nicht genau definieren. Jedoch besteht aufgrund der sich ergebenden Struktur der großen Kardinalzahlaxiome heute eine „mathematische Einigkeit“ darüber, welche Aussagen als große Kardinalzahlaxiome zu gelten haben und welche nicht. Der Status aller großen Kardinalzahlaxiome ist dann der folgende. Sei (K) ein großes Kardinalzahlaxiom, etwa (U). Dann gilt:

 Der Grund für (2) und (3) ist: (K) beweist die Widerspruchsfreiheit der üblichen Mengenlehre, hat also aufgrund des zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes eine über die übliche Mengenlehre hinausgehende logische Kraft. Wir vergleichen die Situation noch einmal mit (CH): Sowohl (CH) als auch non (CH) können wir zur üblichen Mengenlehre hinzunehmen, ohne die Widerspruchsfreiheit zu zerstören. Und: Wir können beweisen, dass wir die Widerspruchsfreiheit durch die Hinzunahme einer der beiden Aussagen erhalten. Für (K) gilt: Vermutlich erhält die Hinzunahme von (K) die Widerspruchsfreiheit. Man kann beweisen, dass dieses vermutlich nie in ein sicherlich verwandelt werden kann. (Dagegen erhält die Hinzunahme von non(K) immer die Widerspruchsfreiheit, und dass dies so ist, ist beweisbar.)

 Die Rechtfertigung für das Studium der großen Kardinalzahlaxiome ist ihr struktureller Reichtum, die Vielzahl der mit ihnen einhergehenden Phänomene, und ihre Konsequenzen für die Mengenlehre und die Mathematik insgesamt. Die Rechtfertigung für den Glauben an die relative Widerspruchsfreiheit der großen Kardinalzahlaxiome ist gerade dieser Theoriereichtum, und das klare Bild, das man von ihnen heute, nach vielen Jahrzehnten der Untersuchung, zeichnen kann. Die Last der möglichen Widersprüchlichkeit hat man zu tragen gelernt. Schließlich lässt sich ja auch die Widerspruchsfreiheit der üblichen Mengenlehre nicht in der üblichen Mengenlehre beweisen.

 Zu den strukturellen Besonderheiten der großen Kardinalzahlaxiome gehört ihre Linearität: Von je zwei verschiedenen Kardinalzahlaxiomen (K₁) und (K₂) beweist immer eines die Konsistenz des anderen. So entsteht eine lineare logische Skala. Es zeigt sich, dass natürliche mengentheoretische Aussagen (A) mit dieser Skala gemessen werden können: Für viele (A) hat man bewiesen, dass es genau ein (K) gibt, das die gleiche mengentheoretische Stärke wie (A) hat. Gleiche Stärke heißt genau: Aus der Widerspruchsfreiheit der üblichen Mengenlehre erweitert um (A) folgt die Widerspruchsfreiheit der üblichen Mengenlehre erweitert um (K), und das gleiche gilt mit vertauschten Rollen von (A) und (K). Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz macht diese Hierarchie möglich, und wird spätestens jetzt geliebt und nicht mehr als ärgerliche Begrenzung des menschlichen Wissens empfunden. Die großen Kardinalzahlaxiome ordnen die Welt der nicht innerhalb der üblichen Mathematik beweisbaren Aussagen, und man kennt keine Gruppe von Axiomen, die ähnliches zu leisten imstande wäre.

 Wir besprechen noch einige weitere große Kardinalzahlen im Umfeld der Unerreichbarkeit. Alle diese Kardinalzahlen gelten heute eher als klein. Das Universum ist ein weites Feld, und die Galaxis, der die Sonne angehört, ist in gewisser Weise bereits riesig groß, aber vom Blickpunkt eines Galaxienhaufens nur ein Staubkorn im All.

 Neben (U) gibt es für jede Ordinalzahl α noch die stärkeren Axiome:

Von noch größerer logischer Stärke ist dagegen schon das Axiom:

Weiter geht es nach mehreren Zwischenstufen wie etwa (U*_α) mit:

 Die Iteration derartiger Prinzipien hat Paul Mahlo zwischen 1911 und 1913 in einer Reihe von singulären, ihrer Zeit weit vorauseilenden Arbeiten untersucht (mit Hausdorffs „schwach unerreichbaren Kardinalzahlen“ von 1908 als Ausgangspunkt). Seine Überlegungen führten ihn zu den heute nach ihm benannten Mahlo-Kardinalzahlen, die die erste Stufe „hinter allen“ Operationen des Typs * bilden. Derlei gibt es viele, wie wir sehen werden, auch solche des Typs ∗^∗.

 Die Rekursion dieser Definition können wir streng genommen nicht rechtfertigen, da z. B. { κ | κ ist unerreichbar } unbeschränkt in den Ordinalzahlen sein kann, und dann keine Menge mehr ist (vgl. Kapitel 13). Wir können aber dennoch die Rekursion in eine übliche Definition auflösen. Wir definieren also offiziell für α ≥ 1 und Kardinalzahlen κ:

κ ist α-unerreichbar, falls gilt:

 Ist κ α-unerreichbar, so ist κ auch β-unerreichbar für alle 1 ≤ β < α. Der Leser überlegt sich leicht, dass die (α + 1)-unerreichbaren Kardinalzahlen gerade die regulären Fixpunkte der Reihe der α-unerreichbaren Kardinalzahlen sind. In dieser Weise hat Mahlo 1911 die Hierarchie eingeführt.

 Der maximale Komplexitätsgrad für ein κ in dieser Hierarchie ist:

„κ ist κ-unerreichbar“.

 Es gibt aber noch trickreiche diagonale Verstärkungen der Hierarchie:

(U∗^∗)  „es gibt ein κ-unerreichbares κ, das Limes von μ-unerreichbaren μ ist“,

usw, usf. Mahlo hat nun den Begriff gefunden, der jede derartige Diagonalisierung übersteigt. Er ergibt sich aus heutiger Sicht sehr leicht aus der Durchführung des Themas „X ist eine große Teilmenge von W(κ)“. Dieses Thema ist völlig unabhängig von großen Kardinalzahlen von fundamentaler Bedeutung, und wir wollen ihm in aller Ruhe nachgehen, bevor wir zu Mahlos großartig-großen Kardinalzahlen zurückkehren. Die Motivation ist: Wir suchen einen Begriff, der die Unerreichbarkeits-Hierarchien transzendiert. Wir wollen herausfinden, was „es gibt viele unerreichbare Kardinalzahlen jedes *-Typs unterhalb von κ“ heißen könnte.