Maße auf überabzählbaren Mengen

 Die Frage nach der Existenz von vollständigen Ultrafiltern ergab sich zwanglos aus dem Studium des Filterbegriffs. Historisch verlief die Sache auf einem Nebengleis, dem die Theorie den Namen „messbar“ zu verdanken hat: Ulam untersuchte Fragen der Maßtheorie, als er auf das Phänomen hinter den messbaren Kardinalzahlen stieß.

 Mathematiker lieben die abstrakte Messkunst. Sie ordnen dabei einer Menge eine nichtnegative reelle Zahl zu − das Maß der Menge. „Maß von“ ist wie „große Teilmenge von“ extensional „in einem bestimmten Sinne“ zu fassen, in diesem Fall durch eine Funktion. Die zugehörigen mathematischen Begriffe kristallisierten sich Anfang des 20. Jahrhunderts heraus. Wir verwenden sie hier in der folgenden Form:

 Der bevorzugte Buchstabe für Maße ist im Folgenden nicht I, sondern μ.

 Die nichttrivialen Ultrafilter auf M entsprechen den 0-1-wertigen Inhalten auf M, d. h. den Inhalten I mit rng(I) = { 0, 1 }: Gegeben U betrachten wir den Inhalt I mit I(A) = 1, falls A  ∈  U, I(A) = 0 sonst. Gegeben einen 0-1-wertigen Inhalt I setzen wir U = { A ⊆ M | I(A) = 1 }. Nach dem Ultrafiltersatz von Ulam-Tarski existiert insbesondere also immer ein Inhalt auf einer unendlichen Menge M.

 Analog entsprechen die ω₁-vollständigen nichttrivialen Ultrafilter auf M den 0-1-wertigen Maßen auf M. Wir wissen, dass vollständige Ultrafilter schwer zu haben sind. Im Gegensatz zur Ultrafiltertheorie haben wir nun aber die übliche Flut reeller Werte zur Verfügung, und nicht nur 0 oder 1. Maße werden also vielleicht leichter zu konstruieren sein …

 Maße auf abzählbaren Mengen lassen sich leicht angeben: Für A ⊆ W(ω) setzen wir

μ(A)  =  ∑_{n  ∈  A} 1/2^(n + 1).

Dann ist μ ein Maß auf W(ω), da 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1. Dagegen existieren keine 0-1-wertigen Maße auf W(ω)!

 Zwei Grundprobleme der Maßtheorie lauten:

 Die erste Idee für ein Maß auf z. B. I = [ 0, 1 ] ist: μ(A) = „das Längenmaß von A“ für A ⊆ I. Dies sollte doch für alle A ⊆ I in vernünftiger Weise zu definieren sein. Es stellt sich heraus, dass hier große Schwierigkeiten auftreten, und dass diese Schwierigkeiten ganz allgemein sind und nichts mit einem speziellen Längenmaß zu tun haben.

 Die Frage, ob für alle A ⊆ I ein Längenmaß erklärt werden kann, hatte Henri Lebesgue 1902 gestellt. Der Begriff „Längenmaß“ wird durch eine zusätzliche Bedingung eingefangen:

(+)  Für alle A ⊆ I und 0 ≤ x ≤ 1 ist μ(A + x) = μ(A). (Translationsinvarianz)

Hier ist (der Bequemlichkeit halber) I = [ 0, 1 [ und

A + x  =  { y + x | y  ∈  A, y + x < 1 } ∪ { y + x − 1 | y  ∈  A, y + x ≥ 1 }

die Rechts-Translation von A um x modulo 1, d. h. Punkte, die das Intervall bei der Verschiebung um x rechts verlassen, tauchen links wieder auf. Man kann sich I auch als Kreislinie vorstellen, indem 0 und 1 verklebt werden. A + x ist dann die Drehung von A um den Winkel x · 2π.

 Vitali hatte 1905 gezeigt, dass die Translationsinvarianz eine zu starke Forderung an Maße auf I darstellt. Unabhängig wurde Vitalis Gegenbeispiel auch von Hausdorff gefunden. Wir setzen für x, y  ∈  I (vgl. 1. 3):

x ∼ y  falls  |x − y|  ∈  ℚ.

Dann ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf I. Es gilt:

 Analoges gilt für ℝ statt I, wobei in einer Maßtheorie für ganz ℝ ein Maß auf ℝ dann nur noch σ-finit sein muss, d. h.: Die Maße von beschränkten Teilmengen von ℝ sind endlich. (Ein Maß auf ℝ ist dann eine Funktion μ : ℘(ℝ) → [ 0, ∞ [ ∪ { ∞ }.) Auch hier führt die Vitali-Hausdorff-Konstruktion zu einem Widerspruch. Die Translation ist dann sogar die echte Translation, A + x = { y + x | y  ∈  A }. Wie in der Übung ist μ(A) = 0 für ein vollständiges Repräsentantensystem von ∼ nicht möglich. Sei also μ(A) = ε > 0, und sei ε · n > μ([ 0, 2 ]) = z. Ohne Einschränkung dürfen wir A ⊆ [ 0, 1 ] annehmen. Für paarweise verschiedene rationale 0 < q₁, …, q_n < 1 ist dann

z  <  ∑_{1 ≤ i ≤ n} μ(A + q_i)  ≤  z

wegen ⋃_{1 ≤ i ≤ n} A + q_i ⊆ [ 0, 2 ]. Widerspruch!

 Volle Translationsinvarianz ist also nicht möglich. Sie erzeugt zuviel Symmetrie, und diese verletzt die abzählbare Additivität.

 Stefan Banach (1892 − 1945) stellte dann die Frage nach der Existenz eines beliebigen nichttrivialen Maßes auf I = [ 0, 1 ]. Diese Frage ist wesentlich subtiler. 1929 zeigten Banach und Kuratowski, dass unter Annahme der Kontinuumshypothese kein Maß auf I = [ 0, 1 ] existiert. Im Jahr 1930 gab Ulam einen weiteren Beweis. In der Tat folgt der Satz leicht aus der Existenz von Ulam-Matrizen auf ω₁ und der folgenden einfachen Beobachtung:

 Damit haben wir:

 Was ist, wenn 2^ω = ω₂ gilt? Ist ein Maß auf I = [ 0, 1 ] überhaupt möglich, oder ist die Existenz eines reellwertigen Maßes auf einer überabzählbaren Menge M doch gleichwertig mit der Existenz eines 0-1-wertigen Maßes auf M? Dann wäre ein Maß auf einer Menge M mit |M| = |ℝ| nicht möglich, denn Maße auf überabzählbaren Mengen würden dann nur auf messbaren Kardinalzahlen existieren, und diese sind starke Limeskardinalzahlen, also viel größer als |ℝ| = 2^ω.

 Die Antwort ist:

 Das Kontinuum muss also sehr groß sein, wenn ein Maß auf dem Einheitsintervall existiert. Es ist viel, viel größer als ω₁, aber immer noch viel, viel kleiner als die erste stark unerreichbare Kardinalzahl oder gar die erste messbare Kardinalzahl. Insgesamt ist die Frage nach der Existenz von Maßen auf dem Einheitsintervall unabhängig, und darüber hinaus ist die Annahme der Existenz eines solchen Maßes eine starke Hypothese (de facto von der Stärke von „es gibt eine messbare Kardinalzahl“, wie Solovay ebenfalls gezeigt hat). (Für „Einheitsintervall“ kann man hier jede Menge der Mächtigkeit von ℝ einsetzen.)

 Wir geben hier nur noch den Beweis, dass die Existenz eines Maßes auf I die Mächtigkeit des Kontinuums beträchtlich nach oben zieht.

 Die σ-Additivität eines Maßes μ ist identisch zur ω₁-Additivität von μ nach dieser Definition. Es gilt also Add(μ) ≥ ω₁ für alle Maße μ. Ist Add(μ) = τ, so existieren paarweise disjunkte X_α ⊆ M, α < τ, mit

μ(⋃_α < τ X_α)  >  Σ_α < τ μ(X_α),

und τ ist minimal hierfür. Für alle Maße μ auf M mit |M| = κ gilt Add(μ) ≤ κ, denn es gilt 1 = μ(M) > Σ_{x  ∈  M} μ({ x }) = sup_{E ⊆ M, E endlich} Σ_{x  ∈  E} μ({ x }) = 0.

 Reellwertig messbare Kardinalzahlen sind also schwach unerreichbar. Im Gegensatz zu messbaren Kardinalzahlen sind sie jedoch i.a. nicht unerreichbar.

 Analog zu den messbaren Kardinalzahlen gilt:

 Die Maßtheorie reagiert auf dieses bedrohliche und irritierende Grundproblem der Existenz von Maßen mit einem taktischen Rückzug: Der Definitionsbereich einer Maßfunktion μ wird eingeschränkt. Maße sind weiterhin σ-additiv, sie sind aber nur noch auf einem Teilsystem von ℘(M) definiert, einer sog. σ-Algebra, und im Allgemeinen nicht mehr auf ganz ℘(M). Dies genügt für viele Anwendungen. Dabei heißt ein Mengensystem 𝒜 ⊆ ℘(M) eine σ-Algebra, falls gilt:

Für die reellen Zahlen sind (σ-finite) Maße zumeist auf der Borel-σ-Algebra 𝔅 = 𝔅(ℝ) definiert (vgl. 2. 7). Speziell existiert ein eindeutiges translationsinvariantes Maß μ auf 𝔅 mit μ([ a, b ]) = b − a für reelle a < b, das sog. Lebesgue-Maß. Die übliche Definition des Lebesgue-Maßes liefert eine σ-Algebra, die größer ist als 𝔅. Die genaue Bestimmung dieser σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen ist eine komplexe Angelegenheit, und viele Zugehörigkeitsfragen sind von der üblichen Mengenlehre unabhängig. Genügend große Kardinalzahlen implizieren die Lebesgue-Messbarkeit aller projektiven Mengen (vgl. 2. 12).