Das Ersetzungsschema

 Bis auf das Auswahlaxiom, das wir am Ende der Liste besprechen, haben wir nun alle Axiome von Zermelo aus dem Jahre 1908 eingeführt. Wir kommen nun zur ersten Ergänzung des Systems von Zermelo durch das Ersetzungsschema von Abraham Fraenkel und Thoralf Skolem. Hierzu brauchen wir den Begriff einer „funktionalen Eigenschaft“ oder einer „Operation auf V“:

Ist ℰ(x, y) eine Eigenschaft in zwei Variablen x und y, so heißt ℰ(x, y) funktional, falls es für jedes x genau ein y gibt mit ℰ(x, y).

 ℰ(x, y) ist also intuitiv eine „Funktion“ auf dem Mengenuniversum: Jedem x wird ein eindeutiges y zugeordnet, nämlich dasjenige y, für welches ℰ(x, y) erfüllt ist.

Beispiele

ℰ1(x, y)  =  „y ist identisch mit x“  =  „y = x“,

ℰ2(x, y)  =  „y ist die Einermenge von x“  =  „y = { x }“,

ℰ3(x, y)  =  „y ist die Potenzmenge von x“  =  „y = ℘(x)“.

Übung

Ist ℰ(x, y) eine funktionale Eigenschaft, so existiert die Zusammenfassung { (x, y) | ℰ(x, y) } nicht, d. h. es gibt keine Menge z von geordneten Paaren mit: Für alle x, y gilt: (x, y)  ∈  z gdw ℰ(x, y).

[z wäre eine auf dem ganzen Mengenuniversum definierte Funktion, also keine Menge; denn andernfalls wäre nach dem Vereinigungsaxiom { x | x = x } = ⋃ ⋃ z eine Menge.]

 Wir können nun das Ersetzungsschema formulieren.

(ERS) Ersetzungsschema

Zu jeder funktionalen Eigenschaft ℰ und jeder Menge M

existiert eine Menge N, die genau diejenigen y als Elemente enthält,

für welche ein x  ∈  M existiert mit ℰ(x, y).

 Kurz und anschaulich:

„Das Bild einer Menge unter einer funktionalen Eigenschaft ist eine Menge.“

 Vorstellung ist: Wir haben eine Menge M und eine universelle Zuordnung ℰ(x, y). Wir bilden nun eine Menge N, indem wir jedes Element x von M durch das eindeutige y mit ℰ(x, y) „ersetzen“.

 Die Anwendung des Ersetzungsschemas erzeugt intuitiv keine zu großen und damit pathologischen Objekte, da wir die Elemente einer bereits vorhandenen Menge durch andere austauschen. Die Mächtigkeit der entstehenden Menge ist also immer kleinergleich der Mächtigkeit der Ausgangsmenge.

 Die Stärke des Ersetzungsschemas liegt in der Verwendung von funktionalen Eigenschaften. Ist F eine Funktion auf einer Menge M, so brauchen wir für die Existenz des Bildes N = F′′M von M unter F kein neues Axiom:

Übung

Sei F eine Funktion mit M ⊆ dom(F). Dann existiert N = F′′M.

[Mit Vereinigungsaxiom und Aussonderungsschema.]

 Man kann das Ersetzungsschema auch als eine liberalere Form des Aussonderungsschemas betrachten:

Übung

Zeigen Sie das Aussonderungsschema mit Hilfe des Ersetzungsschemas (und der übrigen Axiome).

 Wir könnten das Aussonderungsschema also aus ZFC streichen, ohne die Stärke des Axiomensystems zu vermindern. Wegen seiner Natürlichkeit und Nützlichkeit im Aufbau der Theorie hat es aber einen sicheren Platz innerhalb der Axiome.

Fraenkel (1922):

„Wenn man die Cantorsche Mengenlehre, unter Ausscheidung der Antinomien und unter Verzicht auf die ihnen Raum gebende Cantorsche Mengendefinition, auf mathematisch befriedigende Grundlagen stellen will, so kommt vorläufig nur die von Herrn Zermelo gegebene Begründung in Frage. Einige das Grundgerüst dieser Begründung betreffende und z. T. es modifizierende Bemerkungen bilden den Inhalt der folgenden Zeilen … Die überaus scharfsinnigen Untersuchungen Zermelos sollen hierdurch nicht umgestoßen, sondern nur vervollständigt und befestigt werden … 

 I. Die sieben Zermeloschen Axiome reichen nicht aus zur Begründung der Mengenlehre.

 Zum Nachweis dieser Behauptung diene etwa das folgende einfache Beispiel: Es sei Z0 die [in Zermelo 1908b] definierte und als existierend nachgewiesene Menge (Zahlenreihe). Die Potenzmenge 𝔘Z0 (Menge aller Untermengen von Z0) werde mit Z1, 𝔘Z1 mit Z2 bezeichnet usw. Dann gestatten die Axiome, wie deren Durchmusterung leicht zeigt, nicht die Bildung der Menge { Z0, Z1, … } , also auch nicht die Bildung der Vereinigungsmenge. Es lässt sich daher, wenn man etwa dem Kontinuum eine Mächtigkeit < ℵω zuschreibt, auf Grund der Axiome z. B. die Existenz von Mengen mit Mächtigkeit ≥ ℵω nicht beweisen.

 Diese bisher nicht bemerkte Lücke der Zermeloschen Begründung ist durch Hinzufügung eines neuen Axioms oder Erweiterung eines vorhandenen auszufüllen … 

 Ersetzungsaxiom. Ist M eine Menge und wird jedes Element von M durch ‚ein Ding des Bereiches 𝔅‘ ersetzt, so geht M wiederum in eine Menge über.

 Für das oben angeführte Beispiel hat man, um die Existenz der Menge { Z0, Z1, … } zu zeigen, auf Grund des soeben formulierten Axioms nur das Element 0 von Z0 durch Z0, das Element { 0 } durch Z1 zu ersetzen usw. Man kann weiter auf die Vereinigungsmenge der so entstehenden Menge das Axiom in analoger Weise anwenden und erlangt, derart weiterschreitend, ersichtlich die erforderliche Freiheit in der Bildung von Mengen.“

 Dass man tatsächlich das Ersetzungsschema nicht aus den anderen Axiomen beweisen kann, ist durch eine „Durchmusterung“ der Zermelo-Axiome nur plausibel gemacht. Der strenge Beweis dieser Behauptung fällt wie die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese in den Bereich der Metamathematik: Man gibt ein Modell der Zermelo-Axiome an, in dem das Ersetzungsschema falsch ist.

 Das Ersetzungsschema garantiert im Aufbau der axiomatischen Mengenlehre die Existenz vieler Neumann-Zermelo-Ordinalzahlen, kurz: Ordinalzahlen, da die Cantor-Hausdorff-Definition hier zu ungenau ist. Weiter wird es ganz wesentlich gebraucht im Beweis des Rekursionssatzes für Wohlordnungen und allgemeiner im Beweis des Rekursionssatzes für alle Ordinalzahlen.

 Wir können folglich die Vα-Hierarchie wie in 2.7 definieren. Für den Beweis, dass es für jede Menge x eine Ordinalzahl α gibt mit x  ∈  Vα, wird ein weiteres Axiom benötigt.