Das Aussonderungsschema

 Wir bezeichnen diese Menge y mit { u  ∈  x | ℰ(u) }.

 Der Name „Schema“ bezieht sich auf die frei wählbare Eigenschaft ℰ: Wir haben ein Axiom pro Eigenschaft, und unser Axiomensystem besteht damit aus unendlich vielen Axiomen. Wir werden im zweiten Band zeigen, dass sich ZFC nicht auf endlich viele Axiome reduzieren lässt.

 Die Eigenschaft ℰ darf andere Mengen als Parameter enthalten. Für jedes x können wir z. B. bilden:

{ u  ∈  x | u ≠ ∅ }.

Die verwendete Eigenschaft ist hier ℰ = „u ≠ ∅“, mit der Menge ∅ als Parameter.

 Der Unterschied zum vollen Komprehensionsschema ist, dass wir uns bei der Aufsammlung von Objekten mit der Eigenschaft ℰ auf die Elemente einer fest vorgegebenen Menge x beziehen: Wir sondern aus x alle Elemente mit der Eigenschaft ℰ aus, und fassen diese Elemente zu einer neuen Menge zusammen. Die entstehende Menge { u  ∈  x | ℰ(u) } ist immer eine Teilmenge von x, und damit ist das Aussonderungsschema ein „Existenzaxiom nach unten“. Obwohl in dieser Hinsicht das Aussonderungsschema viel schwächer ist als das uferlose Komprehensionsschema, können wir es in der Anwendung ähnlich flexibel einsetzen wie das Komprehensionsschema, da sich zumeist ein Teilbereich x des Mengenuniversums finden lässt, in dem alle gewünschten Objekte u mit der Eigenschaft ℰ(u) als Elemente vorhanden sind. Ein Beispiel hierfür gibt das kartesische Produkt, das wir nach der Einführung des Potenzmengenaxioms definieren werden.

 Das Aussonderungsschema garantiert uns die Existenz der Schnittmenge und der Subtraktion. Wir definieren:

Hierbei sind „z  ∈  y“ und „z  ∉  y“ die verwendeten Eigenschaften. Die Menge y ist in beiden Fällen Parameter der Aussonderung aus x.

 Sei X eine nichtleere Menge und x*  ∈  X. Wir definieren:

⋂ X  =  { y  ∈  x* | für alle x  ∈  X gilt y  ∈  x }.

Offenbar ist ⋂ X unabhängig von der Wahl von x*  ∈  X.