Das Potenzmengenaxiom
(POT) Potenzmengenaxiom
Zu jeder Menge x existiert eine Menge y,
die genau die Teilmengen von x als Elemente besitzt.
Die Potenzmenge von x bezeichnen wir mit ℘(x).
Das Axiom garantiert, wie wir gesehen haben, die reiche Struktur der unendlichen Mengen hinsichtlich ihrer Mächtigkeit.
Das Potenzmengenaxiom kann man als eine zulässige Instanz des vollen Komprehensionsaxioms lesen:
Für jede Menge x existiert die Menge { y | ℰ(y) } , wobei ℰ(y) die Eigenschaft „y ⊆ x“ ist.
Übung
Formulieren Sie die „Aufwärtsaxiome“ (LM), (PA), (VER) als Spezialfälle des vollen Komprehensionsschemas. [z. B. ∅ = { x | x ≠ x }.]
Den oben bewiesenen Satz, dass jede Menge eine Teilmenge besitzt, die nicht Element der Menge ist, können wir nun kurz so formulieren:
Satz
Es gibt kein x mit ℘(x) ⊆ x.
Damit fällt auch die Mirimanovsche Paradoxie weg.
Das kartesische Produkt
Mit Hilfe des Potenzmengenaxioms und des Aussonderungsschemas können wir nun das kartesische Produkt definieren. Für Mengen A, B würden wir gerne zeigen, dass eine Menge A × B existiert mit der Eigenschaft: Für alle a, b gilt
(a, b) ∈ A × B gdw a ∈ A und b ∈ B.
Die Definition A × B = { (a, b) | a ∈ A und b ∈ B } ist unbeschränkte Komprehension und nicht durch das Aussonderungsschema abgesichert. Wir beobachten aber:
Für a ∈ A, b ∈ B ist
(a, b) = { { a } , { a, b } } ⊆ ℘(A ∪ B).
Also gilt (a, b) ∈ ℘(℘(A ∪ B)). Wir setzen also:
A × B = { (a, b) ∈ ℘(℘(A ∪ B)) | a ∈ A und b ∈ B }.
Dann gilt wie gewünscht
(a, b) ∈ A × B gdw a ∈ A und b ∈ B.
Weiter setzen wir:
| A1 × A2 × A3 | = (A1 × A2) × A3, | |
| A1 × A2 × A3 × A4 | = (A1 × A2 × A3) × A4, | |
| … | ||
| A1 × … × An + 1 | = (A1 × … × An) × An + 1. |
Für alle A1, … , An und alle x gilt dann:
x ∈ A1 × … × An gdw x = (a1, … , an) für gewisse a1 ∈ A1, … , an ∈ An.
Ist A1 = … = An, so schreiben wir An für A1 × … × An. An ist die Menge aller n-Tupel mit Einträgen aus A.
Zermelo (1908b):
„Axiom IV. Jeder Menge T entspricht eine zweite Menge 𝔘T (die ‚Potenzmenge‘ von T), welche alle Untermengen von T und nur solche als Elemente enthält.
(Axiom der Potenzmenge.)“