Zermelos Zahlreihe Z₀

 Eine Menge u heißt Zermelo-induktiv oder kurz Z-induktiv, falls gilt:

„∅  ∈  u und mit jedem x  ∈  u ist auch { x }  ∈  u“.

 Eine Z-induktive Menge z* existiert nach dem Unendlichkeitsaxiom. Wir setzen:

Z₀  =  ⋂ { u  ∈  ℘(z*) | u ist Z-induktiv }.

Diese Menge existiert nach dem Potenzmengenaxiom und dem Aussonderungsschema. Z₀ besteht intuitiv aus genau den Mengen ∅, { ∅ } , { { ∅ } }, …

 Man zeigt leicht: Z₀ ist Z-induktiv. Weiter ist die Definition von Z₀ unabhängig von der speziellen Wahl der Z-induktiven Menge z* (!).

 Z₀ kann man als Menge der natürlichen Zahlen auffassen:

0  =  ∅,  1  =  { ∅ } ,  2  =  { { ∅ } } ,  3  =  { { { ∅ } } } ,  … ,  also

0  =  ∅,  1  =  { 0 } ,  2  =  { 1 } ,  3  =  { 2 } , …

 Wir haben noch keine Induktion entlang einer Wohlordnung zur Verfügung, wenn wir über Z₀ etwas beweisen wollen. Wir müssen mit der Schnittdefinition auskommen. Diese lässt sich aber in einer induktiven Form notieren, denn direkt aus der Definition von Z₀ erhalten wir: Ist u eine Z-induktive Teilmenge von Z₀, so ist u = Z₀. Dies liefert folgende Form der „Peano-Induktion“ für Z₀:

„Sei u ⊆ Z₀ mit (1) ∅  ∈  u, (2) für alle x  ∈  u ist { x }  ∈  u. Dann ist u = Z₀.“

 Weiter kann man eine <-Relation auf Z₀ definieren durch:

<  =  ⋂ { R ⊆ Z₀ × Z₀ | R ist transitiv und für alle x  ∈  Z₀ ist (x, { x })  ∈  R }.

 Eine anspruchsvollere Übung ist:

 Hieraus gewinnt man dann Induktion und Rekursion über 〈 Z₀, < 〉, wobei über Z₀ rekursiv definierte Operationen ℱ : Z₀ → V im Allgemeinen selbst keine Mengen mehr sind (kein Axiom garantiert uns, dass die Vereinigung von partiellen Rekursionsfunktionen „bis x“ für x  ∈  Z₀ eine Menge ist, vgl. Beweis des Rekursionssatzes und die Diskussion zum Ersetzungsschema unten).

 Z₀ dient im Rahmen der ursprünglichen Axiome von Zermelo als Menge der natürlichen Zahlen ℕ. Aus der − weit nach 1908 gefundenen − Definition der Ordinalzahlen nach von Neumann und Zermelo (siehe 2.6) ergibt sich eine etwas andere Definition der natürlichen Zahlen, die man ja als Anfangsstück der Ordinalzahlen definieren möchte. Bei der Interpretation mathematischer Objekte innerhalb der Mengenlehre gibt es keine eindeutigen Lösungen. Brauchbarkeit und Natürlichkeit sind die entscheidenden Gesichtspunkte. Drängt sich eine Definition aufgrund bestimmter Überlegungen geradezu von selbst auf, so spricht man von einer „kanonischen Definition“. Und die Definition der Ordinalzahlen nach von Neumann und Zermelo ist, wie wir gesehen haben, in diesem Sinne kanonisch. Die natürlichen Zahlen sind hier:

0  =  ∅,  1  =  { 0 } ,  2  =  { 0, 1 } ,  3  =  { 0, 1, 2 } ,  4  =  { 0, 1, 2, 3 } , … 

n + 1  =  { 1, …, n }  =  n  ∪  { n },

Diese Definition betont den Ordnungs- und den Mächtigkeitsaspekt der natürlichen Zahlen gleichermaßen. Jedes n hat genau n Elemente und die  ∈ -Relation ordnet die natürlichen Zahlen linear. Wählt man als Unendlichkeitsaxiom:

(UN 2) Unendlichkeitsaxiom II

Es existiert eine Menge x, die die leere Menge als Element enthält

und die mit jedem ihrer Elemente y auch y ∪ { y } als Element enthält.

− so kann man die Ordinalzahlen 0, 1, 2, … nach von Neumann und Zermelo analog definieren wie oben Z₀ definiert wurde. Man setzt:

ω  =  ⋂ { U  ∈  ℘(x) | ∅  ∈  U und für alle y  ∈  U ist y ∪ { y }  ∈  U },

wobei x beliebig ist wie in (UN 2). Dieses ω ist dann die erste Limesordinalzahl. Man beweist, nur die Schnittdefinition verwendend, die elementaren Eigenschaften von ω, etwa:

Weiter zeigt man, dass jede nichtleere Teilmenge von ω ein kleinstes (im Sinne der  ∈ -Relation) Element hat, d.h. 〈 ω, < 〉 = 〈 ω,  ∈ |ω 〉 ist eine Wohlordnung, und dies liefert Induktion und Rekursion über ω. ω ist die Menge der „natürlichen Zahlen“ innerhalb der Mengenlehre, mit der Ordinalzahldefinition nach von Neumann und Zermelo.

 Was ist nun der Unterschied zwischen (UN) und (UN2)? Warum hat Zermelo Z₀ betrachtet? Es zeigt sich: (UN) und (UN2) sind äquivalent, wenn man das Ersetzungsschema zu Zermelos Axiomatik mit hinzunimmt, das wir gleich besprechen werden. In der ursprünglichen − auf den Wohlordnungssatz zugeschnittenen − Zermelo-Axiomatik kann man dagegen die Existenz von ω wie oben definiert nicht zeigen. Generell gilt, dass in einer Axiomatik ohne Ersetzungsschema nur wenige Neumann-Zermelo-Ordinalzahlen existieren, egal, welche Form man dem Unendlichkeitsaxiom gibt. Unabhängig von einem notorischen Mangel an Neumann-Zermelo-Ordinalzahlen gilt ohne Ersetzungsschema der Rekursionssatz nicht einmal für beliebige abzählbare Wohlordnungen; wir bleiben im Limesschritt hängen, und Rekursionen der Länge ω liefern i. A. schon echte Klassen. Diesem für die Mengenlehre also sehr wichtigen Axiom wenden wir uns nun zu.