3. Mengen und Klassen

Dieses Kapitel bringt keine wesentlich neuen Gesichtspunkte der Axiomatik ZFC. Es gehört aber zur Diskussion des formalen Rahmens dieser Theorie, und zudem hat es aus ästhetischen Gründen hier seinen Platz, damit wir im zweiten Teil des Buches zur weiteren Entwicklung der axiomatischen Mengenlehre die bequeme Klassensprechweise bereits zur Verfügung haben und nicht mit einer Flut von Definitionen beginnen müssen. Am Ende des Kapitels besprechen wir kurz alternative Axiomensysteme, in denen echte Klassen echten Objektstatus genießen.

 Außer Mengen gibt es in ZFC keine Objekte. Jedoch ist es bequem und suggestiv, auch über sogenannte Klassen reden zu können. Die Intuition ist hierbei: Mengen sind kleine Klassen, und Klassen, die keine Mengen sind − sogenannte echte Klassen − sind zu groß, um noch Mengen zu sein. Oder: Echte Klassen sind unbeschränkte Teile des Mengenuniversums − so wie unendliche Mengen von natürlichen Zahlen unbeschränkte Teile von ℕ sind.

 Bei der Diskussion der ZFC Axiome haben wir bewiesen:

¬ ∃z ∀y  y  ∈  z,

¬ ∃z ∀y. y  ∈  z ↔ y  ∉  y.

Diese Ergebnisse können wir suggestiv schreiben als:

¬ ∃z  z = { x | x = x } ,

¬ ∃z  z = { x | x  ∉  x }.

Das Paarmengen- und das Potenzmengenaxiom besagen:

∀x, y ∃z ∀u. u  ∈  z ↔ u = x ∨ u = y,

∀x ∃z ∀u. u  ∈  z ↔ u ⊆ x,

mit der Abkürzung u ⊆ x = ∀z. z  ∈  u → z  ∈  x.

Auch diese Axiome können wir suggestiv notieren als:

∀x, y ∃z z = { u | u = x ∨ u = y } ,

∀x ∃z z = { u | u ⊆ x }.

 Allgemein können wir Ausdrücke der Form { x | φ(x) } − oder noch allgemeiner { x | φ(x, p₁, … , p_n) } für bestimmte Mengen (Parameter) p₁, … , p_n − als Abkürzungen verwenden, etwa in den Formen

die nichts anderes bedeuten sollen als: