Operationen mit Klassen

Definition (A ∩ B, ⋂ A, A × B, usw. für Klassen)

Seien A = { x | φ(x) } , B = { x | ψ(x) } Klassen (wieder ohne Angabe von Parametern). Dann definieren wir:

(i)

A ∪ B  =  { x | x  ∈  A oder x  ∈  B }  (= { x | φ(x) ∨ ψ(x) }),

(ii)

A ∩ B  =  { x | x  ∈  A und x  ∈  B }  (= { x | φ(x) ∧ ψ(x) }),

(iii)

A − B  =  { x | x  ∈  A und x  ∉  B }  (= { x | φ(x) ∧ ¬ ψ(x) }),

(iv)

⋃ A  =  { x | es gibt ein y  ∈  A mit x  ∈  y } ,

(v)

⋂ A  =  { x | für alle y  ∈  A gilt x  ∈  y } ,

(vi)

A × B  =  { x | es gibt a  ∈  A und b  ∈  B mit x = (a, b) } ,

(vii)

℘(A)  =  { x | für alle y  ∈  x gilt y  ∈  A }.

 Ob man in { x | φ(x) } die Formel φ umgangssprachlich notiert oder als ℒ-Formel ist Geschmackssache. In jedem Falle wird man aber Abkürzungen verwenden wie „x = (a, b)“ oder „x ist Funktion“, und damit um umgangssprachliche Formen nicht herumkommen. Dann ist etwa „∀x  ∈  y. x ist Funktion ∧ dom(x) = ω“ eine Mischform. Das gleichwertige „jedes x  ∈  y ist eine Funktion auf ω“ ist besser lesbar. Quantoren auszuschreiben ist oft schöner und hilft, syntaktische Wüsten und Privatnotationen zu vermeiden.

 Sind die Klassen A und B Mengen, so stimmen die neuen Definitionen mit den alten überein.

 Wir betrachten einige einfache Beispiele.

Beispiele

(1)

⋂ { A, B } = A ∩ B, 

(2)

⋃ ∅ = ∅, 

(3)

⋃ V = V, 

(4)

⋂ V = ∅,

(5)

⋂ ∅ = V.

 Zu Beispiel (4) beobachten wir, dass die leere Menge ein Element von V ist. Hinsichtlich (5) gilt: Jede Menge ist ein Element von jedem Element der leeren Menge.