Relationen und Funktionen auf Klassen

 Wir erweitern nun die Begriffe der Relationen und Funktionen auf Klassen.

Definition (Klassen als Relationen und Funktionen)

Seien A, B, C Klassen.

(i)

A heißt (zweistellige) relationale Klasse auf B oder kurz Relation auf B, falls A ⊆ B × B, d. h. falls jedes x  ∈  A ein geordnetes Paar mit Elementen aus B ist.

(ii)

A heißt (einstellige) funktionale Klasse oder kurz Funktion, falls A Relation auf V ist und für alle x, y, z gilt:

(x, y)  ∈  A und (x, z)  ∈  A  folgt  y = z.

(iii)

Eine Funktion A heißt injektiv, falls für alle x, y, z gilt:

(x, z)  ∈  A und (y, z)  ∈  A  folgt  x = y.

(iv)

Ist A Funktion, so heißt

dom(A) = { x | es gibt ein y mit (x, y)  ∈  A }

der Definitionsbereich [engl. domain] von A, und

rng(A) = { y | es gibt ein x mit (x, y)  ∈  A }

der Wertebereich [engl. range] von A.

(v)

Eine Funktion A heißt Funktion auf B, falls dom(A) = B.

(vi)

A heißt Funktion von B nach C, in Zeichen A : B → C, falls A Funktion auf B und rng(A) ⊆ C.

(vii)

A : B → C heißt surjektiv, falls rng(A) = C.

(viii)

A : B → C heißt bijektiv, falls A injektiv und surjektiv.

 Ist F eine Funktion, so schreiben wir wie üblich F(x) = y für (x, y)  ∈  F. Analog sind mehrstellige Relationen A auf B (A ⊆ B × … × B) und mehrstellige Funktionen definiert, sowie Schreibweisen F : A1 × A2 … × An → B, usw.

 Ist F eine n-stellige Funktion, so schreiben wir im Folgenden suggestiv

{ F(x1, … , xn) | φ(x1, … , xn) }  für 

{ z | es existieren x1, … , xn mit z = F(x1, … , xn) und φ(x1, … , xn) }.

So ist etwa

{ (x, y) | x  ∈  A und y  ∈  B }  =  { z | es existieren x  ∈ A und y  ∈  B mit z = (x, y) } (= A × B).

 Auch die Elementrelation können wir als echte Klasse betrachten:

Definition

 ∈   =  { (a, b) | a  ∈  b }.

 Häufig gebraucht werden:

Definition (Bild, Einschränkung, Umkehrfunktion, Verkettung, Identität)

Seien F, G Funktionen, und sei X eine Klasse.

(i)

F″X  =  { F(x) | x  ∈  dom(F) und x  ∈  X }  heißt das Bild von X (unter der Funktion F).

(ii)

F|X  =  F ∩ (X × V)  heißt die Einschränkung von F auf X (genauer: auf die Klasse X ∩ dom(F)).

(iii)

Ist F injektiv, so heißt F−1 = { (y, x) | (x, y)  ∈  F } die Umkehrfunktion von F.

(iv)

G ∘ F  =  { (x, z) | x  ∈  dom(F), F(x)  ∈  dom(G), z = G(F(x)) }  heißt die Verkettung von F und G.

(v)

id  =  { (x, x) | x  ∈  V }  heißt die Identität (auf V), idA = id|A die Identität auf A.

 In der Literatur ist auch F[ X ] für F″X üblich. In der Mengenlehre vermeidet man dagegen die in der Analysis bevorzugte Schreibweise f (X) aufgrund der Verwechslungsgefahr mit der Funktionsanwendung.

 Es gibt viele elementare Eigenschaften dieser Begriffe, z. B.:

(α)

Ist F injektiv, so ist F−1 : rng(F) → dom(F) bijektiv.

(β)

Sind F : A → B und G : B → C bijektiv, so ist G ∘ F : A → C bijektiv.

(γ)

Sind F : A → B, G : B → C, H : C → D Funktionen, so ist

(H ∘ G) ∘ F  =  H ∘ (G ∘ F).

(δ)

Sind F : A → B und G : C → D Funktionen und ist

F|(A ∩ C)  =  G|(A ∩ C),

so ist

F ∪ G : A ∪ C → B ∪ D eine Funktion, usw.

 Auch Relationen R und S kann man miteinander verketten:

R ∘ Rel S  =  { (x, z) | es gibt ein y mit (x, y)  ∈  R und (y, z)  ∈  S }.

Sind F, G Funktionen, so gilt G ∘ F = F ∘ Rel G.