5. Literatur

Abschnitte 1 − 3  : Mathematische Schriften von Cantor, Hausdorff und Zermelo

Die Abschnitte beinhalten weitgehend vollständige Zusammenstellungen. Sie spiegeln den wissenschaftlichen Lebenslauf der drei Hauptpersonen wider, und unterstützen so die Biographien im Hauptteil des Buches. (Das Verzeichnis von Hausdorff folgt [Hausdorff 2001f ], das von Zermelo einer Internet-Zusammenstellung von Volker Peckhaus.) Wir hoffen, dass der Leser einige Details bemerkenswert finden wird, die sich aus den Listen herausfiltern lassen: Etwa die wissenschaftliche Herkunft von Hausdorff und Zermelo aus anwendungsorientierten Gebieten, der Astronomie bei Hausdorff und der Variationsrechnung bei Zermelo. Dass Zermelo über das Zerbrechen eines Zuckerstücks nachgedacht hat, ist ja vielleicht bei dieser konfliktfähigen Figur nicht ohne Witz. Man sieht, dass Zermelo, im Gegensatz zu Hausdorff, die praktische Seite der Mathematik nie verlassen hat. Bei Hausdorff kann man beobachten, dass er in seiner Forschung zu bearbeiteten Fragen und ganzen Gebieten nach einer gewissen produktiven Phase nicht mehr zurückkehrt. Fruchtbare Jahre oder Schaffenskrisen sowie kritische oder entspannte Lebenssituationen aus den Listen zu diagnostizieren ist spekulativ, aber ein Vergleich mit den Biographien zeigt, dass man oft richtig liegt.

Wer Lust auf die Lektüre von wissenschaftlichen Artikeln der drei Mathematiker hat, dem sei hier empfohlen: Cantors sechsteilige Serie über lineare Punktmannigfaltigkeiten [Cantor 1879 b, 1880 d, 1882 b, 1883 a, 1883 b, 1884 b], und seine zweiteiligen „Beiträge“ [Cantor 1895 a, 1897]. Diese Artikel finden sich auch in [Zermelo 1932]. Von Hausdorff: Seine große Arbeit über lineare Ordnungen [Hausdorff 1908]. Von Zermelo: Sein erster und zweiter Beweis des Wohlordnungssatzes [Zermelo 1904 a, 1908 a] und seine Axiomatisierung [Zermelo 1908b]. Daneben ist [Zermelo 1930] ein fesselnder Artikel."

Abschnitt 4  :  Mathematische Schriften anderer Autoren

Die frühen Arbeiten zur Mengenlehre bis etwa 1930 stehen hier im Vordergrund, bei gelegentlichen Vorausgriffen auf neuere Literatur, die der Text des Buches nötig macht. Der Leser wird sehen, dass dieses Buch bei weitem nicht alles abdeckt, was es an Interessantem aus der frühen Zeit der Mengenlehre zu berichten gäbe.

Hier kann als Empfehlung nur eine kleine Auswahl von Titeln genannt werden, die sicher nicht repräsentativ für diesen Abschnitt ist: Die Bücher von Dedekind [Dedekind 1872, 1888] und Frege [Frege, 1884], allesamt vielfach neu aufgelegt. Dann für die Mengenlehre die Artikel [Bernstein 1905], [Hartogs 1915], [von Neumann 1923, 1928], [Skolem 1923]. Für die Logik allgemein die Arbeiten von Kurt Gödel. Speziell für die frühe deskriptive Mengenlehre die Arbeiten von Nikolai Lusin. In Richtung große Kardinalzahlen die Arbeiten von Paul Mahlo, und einige Arbeiten von Tarski.

Abschnitt 5  :  Gesammelte Werke, Briefe und Aufsatzsammlungen

Der Abschnitt gibt einen Überblick über gesammelte Werke. Während eine Gesamtausgabe für Hausdorff in jüngster Zeit in Angriff genommen wurde, steht eine Neuausgabe der Schriften von Cantor noch aus, und von Zermelo fehlt eine Werkausgabe bislang völlig.

Neben der neuen Hausdorff-Edition [Hausdorff 2001f] ist die von Zermelo besorgte Sammlung der Werke Cantors [Cantor 1932] und die Ausgabe der Briefe [Cantor 1991] besonders empfehlenswert. Die sehr gut gemachten Bücher [Felgner 1979] und [van Heijenoort 1967] versammeln wichtige Originalartikel. Gödel ist immer interessant, und den an der mathematischen Logik interessierten Leser wird hier die Werkausgabe [Gödel 1986ff] besonders erfreuen. Auch die dreibändige Werkausgabe der Schriften von Dedekind [Dedekind 1930 − 1932] ist eine Großtat."

Abschnitte 6 − 10  :  Mengentheoretische Lehrbuchliteratur

Auch hier geht es nicht nur um die Angabe von Referenzen: In der Buchliteratur spiegelt sich der Zustand einer mathematischen Theorie. In der Regel häufen sich neue Bücher einige Jahre nach besonders aufregenden Phasen der Forschung. Derartige Häufungen wichtiger mengentheoretischer Lehrbuchliteratur bilden sich etwa um die Jahre 1910, 1975 und 1995.

Die einführenden, elementaren Lehrbücher zur Mengenlehre lassen sich relativ natürlich in drei zeitliche Blöcke einteilen, die die Zeitspannen von etwa 1900 − 1950, 1950 − 1980 sowie 1980 bis heute umfassen.

Abschnitt 6  :  Ältere Bücher zur Mengenlehre

Wer bei dem in diesem Buch dargestellten Stoff noch verweilen und die originale Luft atmen möchte, findet in dieser Liste alles, was die Geschichte hinterlassen hat, und fast alles, was das Herz begehrt. Die ersten fünfzig Jahre der Mengenlehre, die in diesen Büchern zeitnah darstellt werden, haben im Kleinen unendlich viele fesselnde Feinheiten zu bieten, und sind als Ganzes geistes- und kulturgeschichtlich unerreicht.

Die Empfehlungen hier sind eindeutig: [Hausdorff 1914] und [Fraenkel 1928]. Die „Grundzüge“ liegen mittlerweile in einer Neuausgabe samt umfangreichem Apparat vor [Hausdorff 2002]. Die zweite Auflage von Hausdorffs Buch von 1914 [Hausdorff 1927] enthält weniger und mehr als die erste: Weniger Ordnungstheorie, weniger Topologie, weniger stilistisch ausgereifte Kommentare, dafür aber mehr deskriptive Mengenlehre. Insgesamt bleibt die Empfehlung bei [Hausdorff 1914].

Die Bücher von Schoenflies und Hessenberg tragen das Prädikat „historisch besonders wertvoll“. Für die deskriptive Mengenlehre ist [Lusin 1930] ein Klassiker.

Abschnitt 7  :  Bücher zur Mengenlehre bis etwa 1980

Der zweite − nicht vollständige − Block zur Buchliteratur spiegelt die Zeit der weiten Verbreitung der Mengenlehre, die nach dem Krieg einsetzte. Die Mathematik wurde auf die Sprache der Mengenlehre umgestellt und axiomatisch entwickelt, insbesondere durch die Arbeiten der französischen Bourbaki-Schule. Im Gegensatz zu topologischen Begriffen gelangten aber zentrale inhaltliche Konzepte der allgemeinen Mengenlehre wie Ordinal- und Kardinalzahlen nicht in den Kanon des Grundwissens der Mathematik, und die Theorie dümpelte ein wenig vor sich hin. Die Erfindung des Forcing durch Paul Cohen 1963 brachte die Mengenlehre dann erneut in die Schlagzeilen, und weckte sie aus ihrem Schönheitsschlaf. Die neue, sehr flexible Methode zog viele junge Forscher an, und viele klassische Probleme konnten beinahe im Wochentakt gelöst werden. Die Mengenlehre entwickelte sich zu einer vielfältigen, blühenden Theorie, in der heute das die Dinge erneut in Bewegung setzende Forcing nur ein Stichwort unter vielen anderen ist.

In den siebziger Jahren sickerten Konzepte der Mengenlehre sogar bis zu den Grundschulen hinab, wurden dann aber schnell von ungezählten Eltern wieder vertrieben, die bei den Hausaufgaben ihrer Kinder an ihrem Bildungsvorsprung zu zweifeln begannen. An den Universitäten in Deutschland erholte sich die durch den Krieg und die Vertreibung von Wissenschaftlern völlig unterbrochene Tradition nur langsam. Eine für die Mengenlehre als Ganzes und für die heutige mengentheoretische Forschung in Deutschland zentrale Figur ist sicherlich Ronald Jensen.

Nur wenige einführende Bücher der Liste sind noch als Ganzes genießbar; der frische Wind der ersten Zeit ist vorbei, und der Staub, den die Geschichte hinterlassen hat, bleibt oft liegen. Die Ausnahme bildet das Buch [Halmos 1960], das viel zur Verbreitung einiger elementarer Ideen der Mengenlehre beigetragen hat, auch unter Laien. Es ist auch heute noch lesenswert, und es ist leicht zugänglich. Auf höherem Niveau ragen die Bücher von Kuratowski und Mostowski heraus.

Besonders interessante Mitglieder der Liste sind die Titel, die sich mit Forcing auseinandersetzen; [Cohen 1966] ist ein Klassiker, und daneben bietet [Jensen 1967] eine frühe Darstellung der Modellkonstruktion durch die Erzwingungsmethode.

Abschnitt 8  :  Neuere Bücher zur Mengenlehre

Der dritte Teil der Literatur zur Mengenlehre schließlich zeigt Alternativen und Ergänzungen zum vorliegenden Buch und verweist auf Texte, die weit über das hier behandelte Material hinausgehen.

Hinsichtlich einführender Literatur ist vieles Geschmackssache. Wir raten dem Leser, der eine Ergänzung sucht, sich unter [Ebbinghaus 2003], [Friedrichsdorf / Prestel 1985], [Hbracek / Jech 1999], [Oberschelp 1994] sowie [Moschovakis  1994] den ihn am meisten ansprechenden Text auszuwählen.

Die herausragenden Lehrbücher ab 1980 für die höhere Mengenlehre sind zweifellos [Jech 1978/2003] und [Kunen 1980]. Das sehr kompakt geschriebene Buch von Jech war schon bei seinem ersten Erscheinen eine Enzyklopädie, und die erweiterte Neufassung von 2003 bietet dem Leser einen einzigartigen Überblick über den Stand der Dinge: [Jech 2003] ist in vielen Punkten die Empfehlung zur modernen Mengenlehre. Ein interessantes Buch, in dem man viele Details finden kann, die anderswo verloren gegangen sind, ist [Levy 1979].

Das Buch [Deiser 2007] behandelt die reellen Zahlen unter verschiedenen Gesichtspunkten, insbesondere solchen der deskriptiven Mengenlehre und der Grundfragen der Maßtheorie.

Abschnitt 9  :  Bücher zu speziellen Themen der Mengenlehre

Ab etwa 1990 ist eine ungewöhnliche Vielzahl von meistens sehr fortgeschrittenen und spezialisierten Büchern erschienen. Manche von ihnen sind auch für Experten schwer zugänglich und eher Forschungsberichte als Lehrbücher. Die Liste zeigt die Lebendigkeit und den Reichtum in der Forschung der letzten drei Jahrzehnte. Inhalte und Stil der Bücher zeigen aber auch, dass sich das Cantorsche Paradies in einen Hightech-Maschinenpark verwandelt hat, mit allen damit verbundenen Vor- und Nachteilen.

Zu den freundlicheren Titeln: [Jech 1973], [Rubin 1963, 1985] und [Herrlich 2006] sind Monographien über das Auswahlaxiom. Das Buch [Kanamori 1994] gibt eine umfassende, gut lesbare und historisch orientierte Einführung in die Theorie der großen Kardinalzahlen. [Kechris 1995] ist ein für jeden Mathematiker geschriebener Text zur deskriptiven Mengenlehre, der auch Analytiker begeistern kann. Kenntnisse in mathematischer Logik sind nicht erforderlich. [Moschovakis 1980] ist dagegen der Klassiker zur logisch formulierten deskriptiven Mengenlehre. Das Buch [Devlin  1984] widmet sich ganz dem konstruktiblen Universum von Gödel und seiner eingehenden Untersuchung durch Ronald Jensen. [Martin 200?] ist ein gerade entstehendes, umfassendes Buch über ein spezielles Axiom, das Axiom der Determiniertheit, welches in voller Stärke dem Auswahlaxiom widerspricht, in abgeschwächten Formen aber garantiert, dass sich definierbare Teilmengen von ℝ ordentlich benehmen.

Zwei Bücher mit Anwendungen: [Dales / Woodin 1987] diskutiert eine Anwendung der Erzwingungsmethode in der Theorie der Banachalgebren, und beinhaltet eine selbständige Darstellung der benötigten Werkzeuge aus beiden Bereichen. [Dehornoy 2000] ist eine glänzende Monographie über Zöpfe und eine skurrile algebraische Identität. Der Mengenlehre kommt hier überraschenderweise eine problemgeschichtlich und inhaltlich wichtige Rolle zu, die der letzte Teil des Buches deutlich macht.

Schließlich zu einigen hochspezialisierten Texten. Die Bücher von Tony Dodd, John Steel, William Mitchell und das auf Manuskripten von Ronald Jensen aufbauende Buch von Zeman behandeln die in erster Linie durch die Autoren selbst erforschte Kernmodelltheorie, eine Weiterentwicklung der Gödelschen Theorie des konstruktiblen Universums in Richtung große Kardinalzahlaxiome. Die Bücher von Shelah behandeln die Resultate des Autors zur Kardinalzahlarithmetik in ZFC bzw. spezielle Techniken der iterierten Erzwingungsmethode. Das große Buch von Hugh Woodin [Woodin 1999] ist ein Meilenstein in jeder Hinsicht, geschrieben von einem überragenden Mengentheoretiker. (Jensen, Shelah, Steel und Woodin bilden wahrscheinlich das mengentheoretische Viergestirn der heutigen Zeit. Ein Buch über sie zu schreiben, wie man es über Cantor, Hausdorff und Zermelo tun kann, wird aber wohl unmöglich sein: Alleine ein vollständiges Literaturverzeichnis der Arbeiten von Shelah hätte über 800 Einträge, und das erste Tausend wird wohl voll werden.)

Abschnitt 10  :  Bücher zur mathematischen Logik

Für die höhere Mengenlehre ist etwas allgemeine Logik und Modelltheorie ebenso unvermeidlich wie die Maßtheorie für die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Empfehlenswerte Einführungen in die Prädikatenlogik sind [Ebbinghaus / Flum / Thomas  1996], [Mates 1997], [Prestel 1986] und [Rautenberg 1996]; das letztgenannte enthält eine sehr gute Darstellung der Gödelschen Unvollständigkeitssätze. Schon etwas ältere Klassiker der Liste sind [Shoenfield 1967] und [Tarski 1977] aus dem englischen Sprachraum, und [Hermes 1976] auf Deutsch.

In der Logik gibt es neben der Mengenlehre noch die Berechenbarkeitstheorie, die Beweistheorie und die Modelltheorie, und zu diesen Themenfeldern sind einige Lehrbücher aufgeführt. Der Klassiker zur Modelltheorie ist [Chang / Keisler 1990], der zur Berechenbarkeitstheorie [Rogers 1987], der zur Beweistheorie [Schütte 1960]. Letzterer ist für Anfänger schwer zugänglich. Eine neuere Einführung in die Beweistheorie ist [Schwichtenberg / Troelstra 2000].

Wer nur etwas Rüstzeug für weitere Studien in der Mengenlehre sucht, ist mit einem einführenden Text, der etwas mehr Modelltheorie behandelt, gut bedient. Der Leser möge sich hierbei nicht durch das etwas ungewöhnliche Verhältnis zwischen Logik und Mengenlehre verwirren lassen. Prädikatenlogik erster Stufe und Modelltheorie kann man gut innerhalb der Mengenlehre betreiben. Die formale Mengenlehre ist eine mit finiten Mitteln formulierte Theorie, wie im dritten Abschnitt beschrieben. Und dass in dieser Theorie dann nicht nur Zahlentheorie und Algebra, sondern auch eine allgemeine Theorie über Syntax und Semantik entwickelt werden kann, in der sich ihre formale Natur spiegelt, ist keineswegs zirkulär. Vom Standpunkt der Mengenlehre aus ist die Prädikatenlogik eine mathematische Disziplin wie andere auch. Andererseits muss man als Logiker keinerlei mengentheoretische Orthodoxie unterschreiben. Die Mengenlehre wird dann eher als Sprache verwendet denn als Theorie über abstrakte unendliche Objekte. Viele Fragen der Logik sind rein finiter Natur, und damit sehr konkret und „computeriesierbar“. Kurz: Logik ist bereits ohne aktual unendliche Objekte von großem Interesse. In jedem Fall ist es didaktisch einfacher, die Logik innerhalb einer naiven Mengenlehre zu entwickeln, und die meisten Lehrbücher gehen diesen klaren und durch die Geschichte freigeräumten Weg.

Abschnitt 11  :  Historische Arbeiten

Der Abschnitt gibt eine Auswahl an historischen Artikeln und einigen Büchern zur Geschichte der Mengenlehre, Logik und mathematischer Grundlagenforschung. Viele Details der frühen Geschichte sind in den letzten 25 Jahren untersucht worden, und zur Person Cantor liegen verschiedene Biographien vor, die wissenschaftliche, philosophische und menschliche Aspekte diskutieren.

Die (Standard-)Empfehlungen für Bücher, die sich auf die Person Cantor und seine Theorie konzentrieren, wären [Dauben 1979], [Hallett 1984 ], [Meschkowski 1967] sowie [Purkert / Illgauds 1987]. Zwei Bücher mit einem weiter gefassten Rahmen sind [Ferreirós 1999] und [Grattan-Guinness 2000]. Ferreirós holt insbesondere Dedekind und Riemann mit ins Boot, und im Buch von Grattan-Guinness findet man viel über Bertrand Russell. Auf Band II der neuen Hausdorff-Ausgabe [Hausdorff 2002] wurde bereits hingewiesen; er erfreut nicht nur durch die Faksimile-Wiedergabe der „Grundzüge“, sondern auch durch begleitende Essays verschiedener Autoren. Ein interessanter Sammelband zu Hausdorff ist [Eichhorn / Thiele 1994]. Band I der Hausdorff-Ausgabe wird eine Biographie enthalten. Unbedingt ist das Buch von Moore (1982) über Zermelos Auswahlaxiom zu nennen, das auch viele Informationen über die Entwicklung der Mengenlehre zwischen Zermelo und Cohen enthält (etwa über die polnische Schule um Sierpiński). Die Zermelo-Biographie [Ebbinghaus 2007] ist ganz hervorragend. Eine von Ebbinghaus u. a. betreute Werkausgabe von Zermelo ist in Arbeit. Ein Klassiker zur Geschichte der Mengenlehre ist die Artikelserie [Jourdain 1906 − 1914]. Schließlich sei hier auch noch die Sammlung [Hintikka 1995] genannt.

Abschnitt 12  :  Philosophische Schriften und Anthologien

Eine Auswahl. Ganz naiv formuliert ist die große Frage die nach der Wahrheit, und was abstrakte Existenz ist. Kann man zum Phänomen, dass das Universum des Unendlichen ähnlich reich ausgestattet ist wie der wirkliche Kosmos, noch irgendetwas Sinnvolles sagen, oder muss man das staunend so hinnehmen? Das Staunen steht am Anfang der Philosophie, und danach wird es schwierig und zuweilen auch schwammig. Gutes Kartenmaterial für diesen Dschungel zu bekommen, ist nicht leicht. Gegen den Blick trübende Schlangenbisse hilft die Rückkehr zum kristallklaren Definition-Satz-Beweis-Schema der Mathematik.

Die erste Empfehlung ist Platon, der gar nicht aufgelistet ist. Überall leicht zu bekommen. Wer etwas Neueres zu Platon lesen will, wird vielleicht an [Moravcsik 1992] seine Freude haben.

Es gibt eine Reihe von neueren Anthologien, mit denen der Leser den ihn interessierenden Weg beginnen kann: [Dales / Olivieri 1998], [Hart 1996], [ Jacquette 2002], [Link 2004], [Schirn 1998], [Shanker 2001], [Thiel 1982], [Tymoczko 1998]. Den Anthologien stehen etwa die Monographien und Essay-Sammlungen [Balaguer 1998], [Bernays 1976], [George / Velleman 2002], [Maddy 1990, 1997], [Parsons 2005], [Thiel 1989], [Tiles 1989] gegenüber. [Thiel 1995] ist als eine Einführung empfehlenswert. [Beth 1968] ist ein Beispiel für ein Werk, das auf den ersten Blick viel verspricht, aber den Autor dieses Buches enttäuscht hat.

Auch viele Bücher zur mathematischen Logik enthalten oft hervorragende Passagen, die sich mit philosophischen Themen und den zugehörigen historischen Ereignissen befassen. Ein Beispiel ist das in Abschnitt 10 genannte Buch [Kleene 1968] und seine Diskussion des Grundlagenstreits zwischen Hilbert und Brouwer.

Abschnitt 13  :  Nichtmathematische Schriften von Georg Cantor

Cantor hat in den 80er Jahren des 19. Jahrhunderts über die von Delia Bacon vorgebrachte These „Shakespeare = Bacon“ geschrieben und geforscht. Der gleiche Nachname „Bacon“ ist rein zufällig, zunächst ohne Bedeutung, später wurde er aber von Frau Bacon in ihre Theorie integriert. Die Bacon-These war damals relativ populär, heute ist es eher der Earl of Oxford, der Shakespeare gewesen sein soll. (Nicht nur als Mathematiker vertraut der Autor des vorliegendes Buches auf Shakespeare = Shakespeare.)

Cantor hat versucht, Beweise für die These zu finden, und hat einiges zum Thema veröffentlicht. Eine genauere Darstellung findet sich in [Purkert / Ilgauds 1987]. Weiter hat Cantor religiös-mystische Schriften herausgegeben und verfasst. Für eine Neuausgabe und Kommentierung dieser Schriften muss man wohl auf eine neue Gesamtausgabe warten, die dann die alte Zermelosche Ausgabe von 1932 ablösen wird.

Abschnitt 14  :  Schriften von Paul Mongré

Hier schließlich die Schriften von Paul Mongré (zitiert nach [Hausdorff 2001f]). Einige Bemerkungen zu dieser Gestalt findet der Leser in der Hausdorff-Biographie. Die Bände VI und VII der Hausdorff-Edition werden diese Schriften von Mongré wieder besser zugänglich machen. Bis dahin lesen wir Hausdorff.