Inhalt
Vorwort
Historischer Überblick
1. Abschnitt Einführung
1. Mengen
Menge und Element
Die Genese von „Menge“
Das Sein und das Epsilon
Der Platonismus in der Mathematik
Unendliche Mengen
Mengen aus mathematischen Objekten
Die Grundobjekte
Einfache Mengenbildungen
Mengenbildung über Eigenschaften
Das naive Komprehensionsprinzip
Teilmengen
Einfache Operationen mit Mengen
Mengenbildung über Eigenschaften und Operationen
Mengensysteme
Die Potenzmenge
2. Zwischenbetrachtung
Kritik oder „Sturm und Drang“ ?
3. Abbildungen zwischen Mengen
Geordnete Paare
Relationen
Der Funktionsbegriff
Einfache Eigenschaften einer Funktion
Einfache Operationen mit Funktionen
Bilder und Urbilder
4. Größenvergleiche
Wie vergleicht man zwei große Haufen Nüsse?
Größenvergleich zweier Mengen: „gleichgroß“
Zur Geschichte des Vergleichs durch Paarbildung
Größenvergleich zweier Mengen: „kleinergleich“
Der Satz von Cantor-Bernstein (Äquivalenzsatz)
Strikt kleinere Mächtigkeiten
Was ist |M|?
5. Der Vergleichbarkeitssatz
Zermelosysteme und ein allgemeines Prinzip
Unsere Intuition über die Gültigkeit des Satzes
Ein Satz von Felix Bernstein
Zusammenfassung
Georg Cantor und das Vergleichbarkeitsproblem
6. Unendliche Mengen
Gibt es mehr natürliche oder mehr gerade Zahlen ?
Das Hilbertsche Hotel
Dedekinds Definition der Unendlichkeit
Einfache Sätze über unendliche Mengen
Unendlichkeit und natürliche Zahlen
Endlichkeit und natürliche Zahlen
Andere Charakterisierungen der Unendlichkeit
7. Abzählbare Mengen
ℤ ist abzählbar
ℕ × ℕ ist abzählbar: Die Cantorsche Paarungsfunktion
Primzahlen und |ℕ × ℕ| = |ℕ|
Abzählbare Vereinigungen
Die rationalen Zahlen sind abzählbar
Die algebraischen Zahlen sind abzählbar
8. Überabzählbare Mengen
Cantors Diagonalargument
Cantors ursprünglicher Beweis der Überabzählbarkeit von ℝ
Einfache Folgerungen
Subtraktion einer abzählbaren Menge
9. Mengen der Mächtigkeit der reellen Zahlen
Mehrdimensionale Kontinua
Das Multiplikationsproblem
Folgen reeller Zahlen
ℝ und die Potenzmenge der natürlichen Zahlen
Die Gleichung |℘(M) × ℘(M)| = |℘(M)|
Baireraum und Cantorraum
Die Mächtigkeit der reellen Funktionen
Wie gelangt man zu einer Menge größerer Mächtigkeit?
Anhang: Eine stetige Surjektion von [ 0, 1 ] nach [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ]
10. Die Mächtigkeit der Potenzmenge
Der Satz von Cantor
Interpretation
11. Die Kontinuumshypothese
Unabhängigkeitsbeweise
Modelle
Korrektheit des Modellbegriffs
Modelle für die Mengenlehre
Die Beweisidee der Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese
Eine allgemeine Hypothese
Versuch einer Visualisierung
12. Kardinalzahlen und ihre Arithmetik
Kardinalzahlen
Arithmetische Operationen mit Kardinalzahlen
Altes in neuem Gewande
Rechenregeln der Exponentiation
Allgemeine Summen und Produkte
Der Satz von Julius König und Ernst Zermelo
Einige Fragen zur Kardinalzahlarithmetik
Addition und Multiplikation von Kardinalzahlen
Zerlegungen und ein Resultat über |ℝ|
Zur Struktur der Ordnung der Kardinalzahlen
13. Paradoxien der naiven Mengenlehre
Interpretation der Paradoxien
Mengen und echte Klassen
Strukturierung des Bereichs aller Objekte durch Ränge
Semantische Paradoxien
Biographie von Georg Cantor (1845 − 1918)
2. Abschnitt Ordnungen und Mengen reeller Zahlen
1. Transfinite Operationen
Drei Ansatzpunkte für transfinite Zahlen
2. Lineare Punktmengen
Häufungspunkte
Grenzwerte von Folgen
Ableitungen
Abgeschlossene, in sich dichte und perfekte Mengen
Iterierte Ableitungen
3. Wohlordnungen
Einfache Operationen mit Wohlordnungen
4. Der Fundamentalsatz über Wohlordnungen
Längenvergleiche
Ordnungstreue Abbildungen
Der Fundamentalsatz
5. Der Wohlordnungssatz
Der Satz von Hartogs
Maximalprinzipien
6. Ordinalzahlen
Die Definition nach Cantor und Hausdorff
Nachfolger- und Limesordinalzahlen
Transfinite Folgen und Aufzählungen einer Menge
Die moderne Definition einer Ordinalzahl
Mächtigkeiten und Kardinalzahlen
Kardinalzahlarithmetik, Nachfolger und Suprema
7. Transfinite Induktion und Rekursion
Transfinite Rekursion
Beispiele für transfinite Rekursionen
Beweis des Wohlordnungssatzes durch Abtragen
8. Typen linearer Ordnungen und ihre Arithmetik
Die Addition von Ordnungstypen
Die Multiplikation von Ordnungstypen
Allgemeine Summen von Ordnungstypen
Die Exponentiation von Ordnungstypen
Die ersten Ordinalzahlen
Fixpunkte
Der Additions- und Multiplikationssatz
Die Cantorsche Normalform
Eine direkte Definition der Exponentiation von Ordinalzahlen
9. Große Teilmengen und große Kardinalzahlen
Konfinalitäten
Große Kardinalzahlen
Große Teilmengen einer Menge
club-Mengen
Stationäre Mengen
Ulam-Matrizen
Mahlo-Kardinalzahlen
Messbare Kardinalzahlen
Maße auf überabzählbaren Mengen
Vorläufiges Schlusswort zu großen Kardinalzahlen
10. Die Ordnungstypen von ℚ und ℝ
Der Ordnungstyp η
Lücken in linearen Ordnungen
Einbettungen
Der Ordnungstyp θ
Die Dedekind-Vervollständigung einer linearen Ordnung
Eine weitere Konstruktion von 〈 ℝ, < 〉 aus 〈 ℚ, < 〉
Die Suslin-Hypothese
11. Der Satz von Cantor-Bendixson
Absteigende Folgen abgeschlossener Mengen
Die Cantor-Bendixson-Zerlegung
Reduktible Teilmengen von ℝ
Kondensationspunkte
Kohärenzen und relative Abgeschlossenheit
Residuen und reduzible Punktmengen
12. Die Mächtigkeiten abgeschlossener Mengen
Die Cantormenge
Nirgends dichte und magere Mengen
Die Ableitung der Restmenge
Die Struktur der perfekten Mengen
Die Mächtigkeiten abgeschlossener Mengen: zweiter Beweis
Perfekt reduzierbare Mengen
Teilmengen von ℝ mit der Scheeffer-Eigenschaft
13. Die Vielheit aller Ordinalzahlen
Biographie von Felix Hausdorff (1868 − 1942)
3. Abschnitt Die Basisaxiome der Mengenlehre
1. Das Axiomensystem ZFC
Die Bedeutung von „x existiert“
Die einzelnen Axiome
Das Extensionalitätsaxiom
Drei einfache Existenzaxiome
Das Aussonderungsschema
Auswertung der Paradoxie von Russell-Zermelo
Das Unendlichkeitsaxiom
Das Potenzmengenaxiom
Zermelos Zahlreihe Z0
Das Ersetzungsschema
Das Fundierungsaxiom
Einfache Modelle
Das Auswahlaxiom
Die ZFC-Axiome
2. Die Sprache der Mengenlehre
Beispiel einer Analyse einer Eigenschaft
Metaebene und Metamathematik
Die Sprache ℒ der Mengenlehre
Die Zeichen von ℒ
Die Ausdrücke und Formeln von ℒ
Die Punktnotation
Freie Variablen und die Sätze von ℒ
Substitutionen
Mengentheoretische Eigenschaften
Axiomensysteme
Formale Beweise
Die ZFC-Axiome in der formalen Sprache
Formale Beweise im Hilbert-Kalkül
Der formalistische Standpunkt
3. Mengen und Klassen
Klassen
Operationen mit Klassen
Relationen und Funktionen auf Klassen
Geordnete Paare
Aussagen mit Klassen und das Prinzip der Elimination
Klassen als echte Objekte
Vorläufiges Schlusswort
Biographie von Ernst Zermelo (1871 − 1953)
4. Abschnitt Anhänge
1. Liste der ZFC-Axiome
2. Lebensdaten der „dramatis personae“
3. Die wichtigsten Arbeiten von Cantor, Hausdorff und Zermelo
4. Zeittafel zur frühen Mengenlehre
5. Literatur
1. Die mathematischen Schriften von Georg Cantor
2. Die mathematischen Schriften von Felix Hausdorff
3. Die mathematischen Schriften von Ernst Zermelo
4. Mathematische Schriften anderer Autoren
5. Gesammelte Werke, Briefe und Aufsatzsammlungen
6. Ältere Bücher zur Mengenlehre
7. Bücher zur Mengenlehre bis etwa 1980
8. Neuere Bücher zur Mengenlehre
9. Bücher zu speziellen Themen der Mengenlehre
10. Bücher zur mathematischen Logik
11. Historische Arbeiten
12. Philosophische Schriften und Anthologien
13. Nichtmathematische Schriften von Georg Cantor
14. Schriften von Felix Hausdorff alias Paul Mongré
6. Notationen
7. Personenverzeichnis
8. Sachverzeichnis