Das Buch untersucht die Möglichkeiten und Grenzen einer axiomatisch fundierten und formalsprachlich verstandenen Mengenlehre. Wir zeigen, wie die urspünglichen mengentheoretischen Entdeckungen von Georg Cantor, Felix Hausdorff und vielen anderen in der Zermelo-Fraenkel-Axiomatik präzisiert und weiterentwickelt werden können. Im Zentrum stehen die Ordinal- und Kardinalzahlen und die Methoden der transfiniten Induktion und Rekursion. Durch den Reichtum des mengentheoretischen Universums und die exakte, aber flexible Sprache eignet sich die axiomatische Mengenlehre als Grundlagentheorie für die gesamte Mathematik. Im zweiten Teil des Buches untersuchen wir die Grenzen der Axiomatik. Wir zeigen die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese − das wichtigste Ergebnis der mengentheoretischen Metamathematik. Zum Beweis konstruieren wir unterschiedliche Modelle der axiomatischen Mengenlehre. Im konstruktiblen Universum L von Kurt Gödel ist die Kontimuumshypothese gültig. Mit Hilfe der Erzwingungsmethode (Forcing) von Paul Cohen lassen sich dagegen Modelle konstruieren, in denen die Kontinuumshypothese verletzt ist. Der Text ist eine Fortsetzung der „Einführung in die Mengenlehre“, er kann aber mit einem nicht allzu umgangreichen mathematischem Vorwissen auch unabhängig von der „Einführung“ gelesen werden. Vor allem in der zweiten Hälfte des Buches werden Grundkenntnisse der mathematischen Logik und Modelltheorie vorausgesetzt.