2. Das konstruierbare Universum

In diesem Kapitel konstruieren wir, in ZF arbeitend, ein kleinstes Klassenmodell von ZF. Dieses Modell, das wir mit L bezeichnen, wird über eine Hierarchie konstruiert, bei der der Nachfolgerschritt der Potenzmengenbildung durch einen sehr viel behutsameren Schritt ersetzt wird. Statt aller Teilmengen sammeln wir nur die einfachen Teilmengen auf, deren Existenz von den Axiomen von ZF gefordert wird. Dadurch erhalten wir eine Hierarchie, die wir sehr viel genauer analysieren können als die V_α-Hierarchie. Wir nehmen u. U. nicht alle Mengen von V in diese Hierarchie auf, aber wir nehmen in jedem Falle so viele Mengen auf, dass das resultierende Klassenmodell alle ZF-Axiome erfüllt, einschließlich des Potenzmengenaxioms.

 Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die informale Idee des Aufsammelns von einfachen Teilmengen zu präzisieren, und die Feinheiten der Organisation der Hierarchie spielen bei der Detailanalyse des Modells L eine wichtige Rolle. Bereits Gödel hat zwei Präzisierungen von „einfache Teilmengen“ verwendet und untersucht. Die eine verwendet den Definierbarkeitsbegriff der Prädikatenlogik erster Stufe. Eine Teilmenge x einer Menge gilt hier als einfach, wenn es eine Formel φ gibt derart, dass x aus genau den Elementen von w besteht, für die φ in w gilt. Bei der zweiten Präzisierung gilt eine Teilmenge x von w als einfach, wenn sie sich aus w durch iterierte Anwendung einer Hand voll von Grundfunktionen ergibt. Beide Wege führen letztendlich zu den gleichen „einfachen Teilmengen“. Aber sie werfen jeweils ein eigenes Licht auf die Konstruktion, und sie unterstützen sich auch gegenseitig bei der Entwicklung der Theorie.

 Wir stellen zunächst den Weg der Definierbarkeit vor, und verwenden eine wichtige Absolutheitseigenschaft der Konstruktion als Blackbox, um die Darstellung nicht durch syntaktische Schwierigkeiten aufzuhalten. Nachdem wir das Auswahlaxiom und die allgemeine Kontinuumshypothese in L nachgewiesen haben, stellen wir den Weg über die Grundfunktionen vor und reichen dadurch auch den Beweis der Absolutheit der Konstruktion von L nach.

 Weiter zeigen wir, dass in L das Karo-Prinzip gilt. Folglich existiert in L ein Suslin-Baum, und damit ist die Negation der Suslin-Hypothese relativ konsistent zu ZFC. Schließlich konstruieren wir noch einen Kurepa-Baum in L, und zeigen, dass die schwache Dominierungseigenschaft der kanonischen Funktionen in L verletzt ist. Damit haben wir alle kombinatorischen Fragen, die uns im ersten Abschnitt begegnet sind, in L beantwortet.

Definierbare Teilmengen

 Wir definieren, mit dem Modell- und Formelbegriff der Objektebene, was es heißt, definierbar über einem Modell zu sein:

 Für alle p  ∈  w ist p ∩ w definierbar durch die Formel „x  ∈  p“ mit Parameter p. Für transitive w gilt also w ⊆ Def (w). Die Menge w ist definierbar durch „x = x“.

 Ist w transitiv und φ(x) eine ∑₀-Formel, so ist die zugehörige Aussonderung { a  ∈  w | φ(a) } = { a  ∈  w | w ⊨ φ[ a ] } ein Element von Def (w). Damit sind z. B. { a, b }  ∈  Def (w) und ⋃a  ∈  Def (w) für alle a, b  ∈  w, und weiter ist On ∩ w ein Element von Def (w). Allgemeiner enthält Def (w) alle Teilmengen von w, die sich durch iterierte Anwendung einfacher Operationen, wie z. B. F(x, y) = x ∩ y, G(x, y) = x − y, H(x, y) = x × y, usw. erzeugen lassen, wobei der Ausgangspunkt solcher wiederholter Anwendungen die Elemente von w zusammen mit der Menge w selbst sind. So ist z. B.

F(H(G(w, a), b), w)  =  ((w − a) × b) ∩ w  ∈  Def (w)  für alle a, b  ∈  w.

Wir werden später sehen, dass wir eine endliche und sogar sehr kurze Liste einfacher Operationen F, G, H, … angeben können, die genau die definierbaren Teilmengen von w erzeugen. Damit erhalten wir eine gleichwertige Definition von Def (w), die auf den Modellbegriff der mathematischen Logik nicht zurückgreift. Eine solche Definition über eine Liste von einfachen Operationen hätte aber einen etwas willkürlichen Charakter, wenn nicht bereits ein kanonisches Objekt bekannt ist, das man mit Hilfe der Operationen einfangen möchte. Die Definition von Def (w) über die Gültigkeitsrelation ist sehr natürlich, und sie besitzt einen maximalen Charakter. Bei einer reinen Liste von Operationen bliebe immer die Frage, ob man nicht gewisse einfache Operationen „vergessen“ hat. Insgesamt ist die Situation sehr ähnlich zur Formulierung des Aussonderungsschemas mit Hilfe des Formelbegriffs der mathematischen Logik.

 Für alle w ist |Def (w)| ≤ |ω × w ^{< ω}|, da jedes Element von Def (w) durch eine von abzählbar vielen Formeln und eine Parameterfolge in w gegeben ist. Ist w wohlordenbar und unendlich, so ist also |Def (w)| = |w| < |℘(w)|. Dennoch ist Def (w) ein reichhaltiges System von Teilmengen von w, und der Definierbarkeitsoperator eignet sich als ein Ersatz des Potenzmengenoperators in einer Hierarchiebildung.

Die L-Hierarchie

 Die Formel „x  ∈  L“ ist also identisch mit „∃α  ∈  On x  ∈  L_α“. Wie immer lassen sich die Formeln „x  ∈  L_α“ und „x = L_α“ durch Auflösen der Rekursion als reine  ∈ -Formeln schreiben.

 Wir halten einige elementare Eigenschaften der Hierarchie fest.

 Nach (iv) haben also L und V dieselben erblich endlichen Mengen, und die Hierarchien stimmen bis einschließlich ω überein. Dagegen ist L_ω + 1 abzählbar, während V_ω + 1 die Mächtigkeit 2^ω besitzt.

 Mit unserem Kriterium für innere Modelle können wir sehr einfach zeigen:

 Wegen On ∩ V_α = On ∩ L_α = α können wir uns das innere Modell L als eine schmale Version des üblichen geschichteten, als großes „V“ visualisierten Universums vorstellen. Dabei ist allerdings zu beachten, dass die Konstruktion von Teilmengen in L gestreckt ist: Während wir zum Beispiel alle Teilmengen von ω bereits in V_ω + 1 vorfinden, werden in der L-Hierarchie über viele Stufen hinweg immer wieder neue Teilmengen von ω konstruiert. Gilt zum Beispiel

L_α ⊨ „℘(ω) ist abzählbar“,

so enthält L_α + 1 eine neue Teilmenge von ω, d. h. es gilt (L_α + 1 − L_α) ∩ ℘(ω) ≠ ∅. Denn ist f : ω → ℘(ω) ∩ L_α surjektiv mit f  ∈  L_α, so ist die Diagonalisierung

d  =  { n  ∈  ω | n  ∉  f (n) }

definierbar über L_α und es gilt d  ∉  rng(f). Also ist d  ∈  L_α + 1 eine neue Teilmenge von ω. Die „Schmalheit“ von L ist also dergestalt: L wächst hinsichtlich der Konstruktion von Ordinalzahlen genauso schnell wie V, aber hinsichtlich der Konstruktion von Teilmengen von Ordinalzahlen, Teilmengen von Teilmengen von Ordinalzahlen, usw. sehr viel langsamer als V. Ganz unabhängig von AC und GCH ist das Modell L also allein schon deswegen von Interesse, weil es die Komplexität von Ordinalzahlmengen ans Licht bringt: Für ein x ⊆ ω, x  ∈  L, ist die kleinste Ordinalzahl α mit x  ∈  L_α ein sehr genaues Maß für die Komplexität von x. Sollte es ein x ⊆ ω geben mit x  ∉  L, so überschreitet die Komplexität von x die Analysefähigkeit von L. Die V-Hierarchie ist hier blind: Alle Teilmengen von ω werden ohne Ansehen ihres konstruktiblen Existenzgrundes in V_ω + 1 versammelt.

 Ob die Klassen V und L zusammenfallen, können wir nicht zeigen. Die Aussage V = L ist, wie wir sehen werden, unabhängig von ZFC. Ob „V = L“ als Axiom gefordert werden soll, ist ein Gegenstand der Diskussion. In jedem Falle ist L das klarste Universum, das die Mengenwelt kennt, die V-Hierarchie wirkt dagegen wie ein wildes und ungezügeltes erstes Abstecken des Möglichen. Den meisten, die der axiomatischen Mengenlehre begegnen, erscheint das Fundierungsaxiom in seiner Form V = V* = ⋃_{α  ∈  On} V_α als eine Erleuchtung. Hatte man bislang nur mit Mengen operiert, so erblickt man plötzlich ein geordnetes Universum der Mengen. Beim näheren Betrachten wirkt dann aber der Schritt von V_α nach ℘(V_α) als zu grob und undurchsichtig. Das Modell L setzt, egal, ob wir V = L akzeptieren oder nicht, einen neuen Qualitätsstandard in der hierarchischen Ausschöpfung eines mengentheoretischen Universums. Dies wird bei der Konstruktion einer globalen Auswahlfunktion und beim Beweis der allgemeinen Kontinuumshypothese in L besonders deutlich werden.

Eine Wohlordnung von L

 Die Konstruktion von L erlaubt es, das Klassenmodell L wohlzuordnen. Ist eine Wohlordnung von L_α gegeben, so können wir diese Wohlordnung zu einer Wohlordnung auf L_α + 1 ausdehnen, da die Elemente von L_α + 1 durch Formeln und Parameter in der Wohlordnung L_α beschrieben werden. Für die V_α-Hierarchie ist dies nicht ohne zusätzliche Voraussetzungen möglich. Selbst mit Hilfe des Auswahlaxioms können wir nur Wohlordnungen einzelner Stufen V_α erzeugen, nicht aber eine Wohlordnung von ganz V. Es steht keine Möglichkeit zur Verfügung, aus einer Wohlordnung von V_α uniform eine Wohlordnung von V_α + 1 = ℘(V_α) zu gewinnen.

 Der Aufbau von L wird durch Formeln und endliche Parameterfolgen kontrolliert. Es gibt abzählbar viele Formeln, und damit ist ein Element von L_α + 1 durch ein Tupel (n, s) mit n  ∈  ω und s  ∈  L_α^{< ω} gegeben. Haben wir L_α schon wohlgeordnet, so können wir die Elemente von L_α mit Ordinalzahlen identifizieren. Dann ist s ein Element von On^{< ω}. Diese Überlegung motiviert unser Interesse an einer Wohlordnung der Klasse ω × On^{< ω}. Eine solche ist aus der im ersten Abschnitt konstruierten Wohlordnung ≺_seq auf On^{< ω} durch Produktbildung leicht zu gewinnen. Wir setzen für alle (n, s), (m, t)  ∈  ω × On^{< ω}:

(n, s)  ≺  (m, t),  falls  s ≺_seq t  oder  s = t und n < m.

Die Ordnung ≺ ist die übliche Produktordnung 〈 ω,  ∈  〉 · 〈 On^< ω, <_seq 〉. Wir ersetzen jedes s in der Wohlordnung <_seq durch die unendlich vielen Elemente

〈 (0, s), (1, s), (2, s), …, (n, s), … 〉.

 Mit Hilfe der Wohlordnung ≺ können wir nun leicht eine Wohlordnung von L konstruieren. Wir konstruieren hierzu eine Bijektion von ω × On^{< ω} auf L.

 Eine unmittelbare Folgerung des Satzes, die sich auch leicht direkt beweisen lässt, ist:

 Um eine Wohlordnung von L zu erhalten, definieren wir noch:

 Dann ist T : On → ω × On^{< ω} bijektiv, und der Kodierungssatz liefert:

 Die konstruierte Wohlordnung von L hängt ab von der Wohlordnung ≺ auf ω × On^{< ω}, der Aufzählung aller  ∈ -Formeln, der Bijektion π : ω → ω^{< ω}, und schließlich der Konstruktion der Kodierung F : ω × On^{< ω} → L. Naturgemäß arbeiten wir hier mit einer einfachen Aufzählung aller Formeln und einer einfachen Bijektion π, und damit liegt eine Wohlordnung vor, die durchaus das Prädikat „kanonisch“ verdient. Wir werden aber unten noch eine weitere Wohlordnung von L konstruieren, und diese dann als unsere „kanonische“ Wohlordnung von L auszeichnen.

Die Absolutheit der konstruktiblen Hierarchie

 Wir zeigen, dass die L-Hierarchie in transitiven Modellen von ZF* absolut ist. Wird die Konstruktion von L in derartigen Modellen ausgeführt, so entstehen, solange Ordinalzahlen im Modell zur Verfügung stehen, genau die L_α-Stufen. Wir verwenden hierzu den folgenden Satz, dessen Beweis wir später nachreichen, wenn wir die Äquivalenz der beiden zu Beginn des Kapitels beschriebenen Wege der Konstruktion von L nachgewiesen haben.

 Für einen Beweis an dieser Stelle wäre eine syntaktische Analyse der Erfüllbarkeitsrelation notwendig, was eine mühselige und nicht besonders spannende Angelegenheit ist. Man kann den Beweis des Satzes als eine Aufgabe der mathematischen Logik ansehen, die sich die syntaktische Komplexität ihrer tragenden Begriffe zu überlegen hat. Damit ist der Satz also durchaus „zitierfähig“. Andererseits sind die Grundfunktionen, die Def (w) erzeugen, für sich von Interesse, und es trifft sich gut, dass wir mit ihrer Hilfe eine Komplexitätsanalyse umschiffen können.

 Durch die Hypothek der Absolutheit des Definierbarkeitsoperators erhalten wir sofort:

 Die Existenz eines kleinsten inneren Modells von ZF ist keineswegs klar. Sind W und W′ innere Modelle von ZF, so ist im Allgemeinen W ∩ W′ kein inneres Modell von ZF.

Das Auswahlaxiom in L

 Um zu zeigen, dass in L das Auswahlaxiom gilt, müssen wir nur noch die bisherigen Ergebnisse zusammentragen:

 Im Modell L gibt es also eine definierbare Wohlordnung < des Universums, und insbesondere gibt es in L eine definierbare Wohlordnung <* der reellen Zahlen ℝ. (Von außen gesehen ist <* eine Wohlordnung von ℝ ∩ L.) Alle Definitionen der Form

f (x)  =  „ein y mit …“

lassen sich in L immer schreiben als

f (x)  =  „das <-kleinste y mit …“.

Eine Wohlordnung muss hier, wie bei der üblichen Verwendung von (AC), nicht immer von Fall zu Fall neu festgelegt werden. Wir können alle Auswahlakte mit einer universellen, kanonischen Wohlordnung durchführen, die die Mengen des Universums nach ihrer Konstruktions-Komplexität anordnet. Die Wohlordnung ist durch eine Formel gegeben, und damit nicht mehr beliebig. Dass es eine Formel gibt, die ein Klassenmodell von ZF wohlordnet, ist eine der erstaunlichsten Erkenntnisse der Analyse des Auswahlaxioms: Der „dunkle Charakter“ von (AC) löst sich in gewissen Verstärkungen von ZF von selbst auf.

 Wir haben gezeigt:

Das Axiom (V = L)

 Im obigen Beweis des Satzes über Auswahlakte in L haben wir verwendet, dass L in L betrachtet mit dem gesamten Universum zusammenfällt. In L sind die beiden Klassen L und V identisch. Diese Aussage erheben wir zum:

 Wir halten explizit fest:

 Man kann also in ZFC nicht beweisen, dass eine nicht konstruierbare Menge existiert. Anders: Man kann in ZFC nicht beweisen, dass ein von L verschiedenes inneres Modell existiert. Umgekehrt ist an dieser Stelle ZF ⊢ V = L noch nicht auszuschließen. Dies wird später mit der Erzwingungsmethode möglich sein.

 Eine einfache, aber nützliche Beobachtung ist:

 Ergebnisse der ZF-Analyse des Klassenmodells L lassen sich also immer in der Form „In ZF + (V = L) gilt: …“ schreiben, und erscheinen so als Konsequenzen einer Erweiterung von ZF um ein neues Axiom, nicht mehr als Eigenschaften eines speziellen Modells. Obiges Ergebnis über Auswahlakte können wir zum Beispiel schreiben als:

In dieser Form wird die oben diskutierte Beleuchtung des Auswahlaxioms durch eine Theorieerweiterung besonders deutlich.

Mengenmodelle von V = L

 Transitive Modelle von ZF* berechnen die konstruktiblen Stufen korrekt, solange Ordinalzahlen zur Indizierung zur Verfügung stehen. Gilt nun „V = L“ in einem solchen Modell, so ist das Modell bereits eine Stufe der konstruktiblen Hierarchie:

 Umgekehrt sind viele L_α-Stufen Modelle von ZF* + (V = L). Zunächst gilt:

 Der Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen. Wir zeigen:

 An dieser Stelle können wir unter (V = L) noch nicht zeigen, dass L_κ = V_κ für alle unerreichbaren Kardinalzahlen gilt. Denn V_κ enthält sicher alle Teilmengen von ω, während prinzipiell neue Teilmengen von ω über L_κ definierbar sein könnten, die dann erst in L_κ + 1 auftauchen. Dass dies nicht so ist, werden wir nun zeigen.

Die allgemeine Kontinuumshypothese in L

 Wir zeigen, dass in L die allgemeine Kontinuumshypothese gilt. Die Strategie des Beweises für den Spezialfall (CH) ist die folgende. Wir arbeiten in der Theorie ZF + (V = L) und zeigen, dass alle Teilmengen von ω in der L-Hierarchie vor der Stufe L_ω1 konstruiert werden. Mit anderen Worten:

(#_ω)  Ist x ⊆ ω, so gilt x  ∈  L_ω1.

Nun gilt aber |L_α| = |α| für alle α ≥ ω, und damit gibt es höchstens ω₁-viele konstruktible Teilmengen von ω. Die Theorie ZF garantiert andererseits die Existenz von mindestens ω₁-vielen Teilmengen von ω, und damit haben wir bewiesen, dass 2^ω = |℘(ω)| = ω₁ gilt.

 Die allgemeine Kontinuumshypothese folgt aus der allgemeineren für alle Kardinalzahlen κ ≥ ω gültigen Aussage:

(#_κ)  Ist x ⊆ κ, so gilt x  ∈  L_κ⁺.

 Ohne die Voraussetzung V = L ergibt sich damit folgendes Bild der Organisation der konstruktiblen Teilmengen von Ordinalzahlen. Sei α  ∈  On beliebig, und sei μ der kardinale Nachfolger von α in L, d. h. es gelte L ⊨ μ = |α|⁺. Dann gilt:

In L werden also bis hinauf zur μ-ten Stufe immer wieder neue Teilmengen von α konstruiert, danach ist die Konstruktion von Teilmengen von α dann für immer und ewig abgeschlossen. Der zusätzliche Gehalt der nach μ konstruierten Stufen erlaubt es nicht mehr, neue Teilmengen von α zu konstruieren.

 Das entscheidende Hilfsmittel für den Beweis der allgemeinen Kontinuumshypothese und für das weitere Studium von L ist das sog. Kondensationslemma:

 Wegen X ≼ L_γ gilt das Extensionalitätsaxiom in X. Weiter ist jedes  ∈ -Modell fundiert. Also existiert der Mostowski-Isomorphismus.

 Seien X, γ, α, π wie im Kondensationslemma. Dann ist X isomorph zu L_α. Wegen der Starrheit transitiver Klassen ist α die einzige Ordinalzahl mit dieser Eigenschaft. Weiter ist π : L_α → L_γ eine elementare Einbettung, d. h. für jede Formel φ(x₁, …, x_n) und a₁, …, a_n  ∈  L_α gilt:

L_α ⊨ φ[ a₁, …, a_n ]  gdw  L_γ[ π(a₁), …, π(a_n) ]

Insbesondere sind L_α und L_γ elementar äquivalent, d. h. sie erfüllen dieselben Aussagen. Ist X ≠ L_γ, so ist π nicht die Identität. Da L_ω1 abzählbare elementare Submodelle besitzt, existiert also ein abzählbares α derart, dass sich L_α elementar in L_ω1 einbetten lässt.

 Mit dem Kondensationslemma können wir nun leicht zeigen:

 Wir hoffen, dass der Leser die Einschätzung teilt, dass wir weit mehr erreicht haben als dieses tiefsinnige, aber doch recht nackte relative Konsistenzresultat. War die Frage nach der relativen Konsistenz der Kontinuumshypothese auch der Antrieb zur Entwicklung des Modells L, so haben wir dadurch doch ein für sich interessantes und reich geschmücktes Mengenuniversum gefunden, das wir auch dann noch weiter untersuchen würden, wenn sich z. B. ω₂ als die Mächtigkeit der reellen Zahlen in diesem Modell herausgestellt hätte.

 In der Erweiterung von ZF um (V = L) sind also sowohl das Auswahlaxiom als auch die allgemeine Kontinuumshypothese beweisbare Sätze. Wir werden unten zeigen, dass das Axiom (V = L) auch das Suslinsche Problem der Charakterisierung der reellen Ordnung löst. Es scheint in der Tat, als hätten wir das ersehnte fehlende Axiom gefunden. Wird die Untersuchung von L auch desto schwieriger und verwickelter, je subtilere kombinatorische Fragen wir stellen, so erreichen wir doch in den meisten Fällen eine Lösung und oft auch eine tiefere Einsicht in das Problem. Die Theorie ZF + (V = L) ist ebenso „quasi-vollständig“ wie die endliche Mengenlehre oder gleichwertig die Peano-Arithmetik. Die Gödelschen Sätze zeigen die prinzipielle und unvermeidbare Unvollständigkeit dieser Theorien, aber die meisten Fragen mit einem „üblichen“ mathematischen Gehalt lassen sich in diesen Theorien beantworten. Es gibt wichtige Ausnahmen: Auch mit Hilfe von (V = L) können wir z. B. die Frage nicht beantworten, ob eine unerreichbare Kardinalzahl existiert oder nicht (es sei denn, diese Kardinalzahlen führen zu Widersprüchen), denn ist κ eine unerreichbare Kardinalzahl, so ist κ eine unerreichbare Kardinalzahl in L, und L_κ ist ein Modell von ZF + (V = L). Ist aber φ eine „übliche“ mathematische Aussage derart, dass sowohl φ als auch non φ die Konsistenzstärke von ZF nicht erhöhen, so lässt sich in der Regel φ in ZF + (V = L) beweisen oder widerlegen.

 Die Gültigkeit von (GCH) in L wirft zumindest etwas Licht auf die unerreichbaren Kardinalzahlen:

  Wir werden später zeigen, dass sich die Messbarkeit einer Kardinalzahl im Gegensatz zur Unerreichbarkeit nicht von V nach L überträgt. Stärker gilt in der Theorie ZF + (V = L): „Es gibt keine messbare Kardinalzahl“. Diese Limitation ist eines der oft vorgebrachten Argumente gegen die Erhebung des Axioms der Konstruierbarkeit in Rang eines Basisaxioms der Mengenlehre.

 Aus dem Beweis von (GCH) in L erhalten wir:

 Nach diesen Untersuchungen reichen wir nun die versprochene zweite Konstruktion von L mit Hilfe von Grundfunktionen nach. Mit ihrer Hilfe zeigen wir, dass die Konstruktion von L absolut ist: Die Funktion F : On → V mit F(α) = L_α ist eine Δ^*₁-Funktion.

Gödel-Funktionen

 Die folgende Liste von einfachen Funktionen präsentieren wir ad hoc. Man findet eine derartige Liste, indem man analysiert, was man benötigt, um alle definierbaren Teilmengen einer transitiven Menge durch Operationen einzufangen.

 Wir schreiben F_i(x) für F_i(x, x), 1 ≤ i ≤ 10. Dies ist insbesondere für die Basisfunktionen nützlich, die de facto nur von der ersten Komponente abhängen.

 Durch Induktion zeigt man: Für alle n ≥ 2 ist G_n : Vⁿ → V mit

G_n(x₁, …, x_n)  =  x₁ × … × x_n  für alle x₁, …, x_n

eine Gödel-Funktion (denn G_n + 1(x₁, …, x_n + 1) = F₂(G_n(x₁, …, x_n), x_n + 1)).

 Wir zeigen, dass Gödel-Funktionen absolut für transitive Modelle sind. Mit obiger Aufstellung von ∑₀-Formeln ist leicht zu sehen:

 Stärker gilt, dass sich auch alle Kompositionen von Basisfunktionen, also alle Gödel-Funktionen als ∑₀-Formeln schreiben lassen:

Abschluss unter Gödel-Funktionen

 Wir definieren weiter:

Gödel-Funktionen und Definierbarkeit

 Wir untersuchen nun den Zusammenhang zwischen den Operationen cl und Def. Als Erstes zeigen wir, dass wir mit den Gödel-Funktionen die Produktaussonderung für Σ₀-Formeln nachbauen können.

 Streng genommen müssen wir F_{φ, u1, …, un} schreiben, damit insbesondere die Stelligkeit von F_φ klar ist. Wir unterdrücken dies der besseren Lesbarkeit halber.

 Damit erhalten wir leicht:

 Als Korollar erhalten wir folgende Version des Kriteriums für innere Modelle:

 Um den Zusammenhang zwischen definierbaren Teilmengen und Gödel-Funktionen zu klären, brauchen wir noch einen Hilfssatz:

 Hiermit können wir zeigen:

 Damit haben wir die erwünschte Absolutheit der L_α-Hierarchie gezeigt und unsere Hypothek aufgelöst:

Die kanonische Wohlordnung <_L von L

 Mit Hilfe der Gödel-Funktionen können wir leicht eine natürliche Wohlordnung von L definieren.

 Durch Iteration erhalten wir Wohlordnungen <_n(x, <₀) auf allen cl_n(w). Wir setzen hierzu

<_n + 1(x, <₀)  =  <(x, <_n)  für alle n < ω.

Dann ist

W(x, <₀)  :=  ⋃_n < ω <_n  ∩  ℘(w)

eine Wohlordnung von Def (w). Die Wohlordnung <(w, <₀) ist Δ^*₁, und damit ist W(x, <₀) eine Δ^*₁-Funktion.

 Nach Konstruktion ist klar:

Die relativierten Hierarchien L( A ) und L[ A ]

 Wir besprechen noch zwei Varianten der L-Hierarchie, die so genannten relativierten Hierarchien. Es bieten sich zwei Möglichkeiten an, L anders zu organisieren bzw. zu vergrößern: Zum einen können wir mit einer Menge A anstelle der leeren Menge starten, und dann die L-Hierarchie über A konstruieren. Zum anderen können wir eine Menge A als Prädikat in die Definierbarkeitsrelation mit aufnehmen. Gilt V = L, so sind die resultierenden Modelle wieder gleich L, aber die konstruierten Hierarchien sind i. A. verschieden. Gilt V ≠ L, so können die konstruierten Modelle größer als L sein.

 Wir beginnen mit den L-artigen Modellen, die über einer gegebenen Menge konstruiert werden. Um transitive Modelle zu erhalten, starten wir mit t. c.({ A }) anstelle von A:

 Aus unserem Kriterium für innere Modelle folgt leicht, dass für alle A die Klasse L(A) ein Modell von ZF ist. Dagegen können wir nicht mehr allgemein zeigen, dass in L(A) das Auswahlaxiom gilt. Ein Kandidat für einen solchen Fall ist das Modell L(ℝ), das alle reellen Zahlen des Universums enthält, dann aber nur noch die daraus konstruierbaren Mengen. Unter Annahme großer Kardinalzahlaxiome kann man zeigen, dass in L(ℝ) das Auswahlaxiom verletzt ist. Gilt umgekehrt V = L, so gilt natürlich L = L(ℝ).

 Leicht zu sehen ist:

 Für die zweite Variante erweitern wir unseren Definierbarkeitsbegriff:

 In den Formeln der erweiterten Sprache taucht das neue Prädikat R auf. Es wird im Modell 〈 w, A ∩ w 〉 durch die Menge A ∩ w interpretiert. Damit ist zum Beispiel

{ a  ∈  w | 〈 w, A ∩ w 〉 ⊨ v  ∈  R }  =  { a  ∈  w | a  ∈  A ∩ w } = A ∩ w  ∈  Def_A(w).

 Die Definierbarkeit relativ zu A kann man wieder durch Gödel-Funktionen ausdrücken. Man erweitert die Liste F₁, …, F₁₀ hier einfach um eine neue Basisfunktion, nämlich um die Funktion F₁₁ : V² → V mit

F₁₁(x, y)  =  x  ∩  A.

Wie früher ist der Abschluss cl_A(x) einer Menge unter den Gödel-Funktionen definiert, wobei nun auch die Funktion F₁₁ verwendet wird. Man zeigt wieder, dass für alle transitiven Mengen w gilt:

Def_A(w)  =  cl_A(w ∪ { w })  ∩  ℘(w).

Alternativ kann man mit dem alten Gödel-Abschluss arbeiten, denn für alle w gilt

cl_A(w ∪ { w })  =  cl(w ∪ { w } ∪ { w ∩ A }).

 Wir definieren nun:

 Unser Kriterium für innere Modelle zeigt wieder, dass L[ A ] ein inneres Modell von ZF ist für alle Klassen A. Weiter gilt wieder das globale Auswahlaxiom in allen L[ A ]. Die Beweise des Kondensationslemmas und damit der allgemeinen Kontinuumshypothese können wir allerdings nicht mehr übernehmen. In L[ A ] können neue Teilmengen von ω erst sehr spät auftauchen (wobei dann natürlich V ≠ L gilt). Sei hierzu x ⊆ ω mit x  ∉  L und sei δ ≥ ω eine Ordinalzahl. Wir setzen A = { { δ, n } | n  ∈  x }. Dann ist x ein Element von L_δ + 3[ A ], denn es gilt δ  ∈  L_δ + 1[ A ] und damit { n, δ }  ∈  L_δ + 2[ A ] für alle n  ∈  ω. Damit ist also A eine Teilmenge von L_δ + 2[ A ] und folglich ist

Andererseits ist A ∩ L_α[ A ] = ∅ für alle α < δ + 2. Damit erscheint also in der L[ A ]-Hierarchie eine neue Teilmenge von ω erst nach der Stufe δ, und δ kann beliebig groß sein. Das Kondensationslemma ist also verletzt.

 Die Variante des Kondensationslemmas, die wir beweisen können, lautet:

 Über (GCH) in L[ A ] halten wir fest:

 Gilt V = L, so ist L[ A ] = L für alle Klassen A. Andererseits sind die Hierarchien von L[ A ] und L i. A. verschieden. Ist z. B. x eine beliebige Teilmenge von ω, so erscheint x in der L[ x ]-Hierarchie an der Stelle ω + 1, während x in der L-Hierarchie i. A. erst sehr viel später auftaucht.

 Gilt V ≠ L, so ist L[ A ] im Allgemeinen größer als L. Allerdings kann die Information, die A enthält, der Natur von L so fremd sein, dass die L[ A ]-Hierarchie das neue Prädikat A überhaupt nicht gewinnbringend verwerten kann. Es kann Mengen A geben mit A  ∉  L und L[ A ] = L.

 Die Charakterisierung der Modelle L[ A ] lautet:

 Für alle A gilt also L[ A ] = L[ A′ ] mit A′ = A ∩ L[ A ].

 Ist A eine Menge, so ist A′ = A ∩ L[ A ] ein Element von L[ A ]. Speziell ist x ein Element von L[ x ], falls x eine Menge von Ordinalzahlen ist.

 Völlig analog sind die Klassenmodelle L[ A₁, …, A_n ] definiert. Wir erweitern die Sprache hier um endlich viele neue Prädikate R₁, …, R_n, die in der Definierbarkeit über w als A₁ ∩ w, …, A_n ∩ w interpretiert werden. Die entsprechenden Basisfunktionen sind F_10 + i mit F_10 + i(x, y) = x ∩ A_i für alle x, y und alle 1 ≤ i ≤ n.

Das Karo-Prinzip und das Suslin-Problem in L

 Wir arbeiten im Folgenden wieder in ZFC. Im ersten Abschnitt hatten wir das Karo-Prinzip ◇ betrachtet. Dieses kombinatorische Prinzip behauptet, dass eine Folge 〈 S_α | α < ω₁ 〉, S_α ⊆ α für alle α < ω₁, existiert, sodass für alle S ⊆ ω₁ die Menge { α < ω₁ | S ∩ α = S_α } stationär in ω₁ ist. Eine solche Folge 〈 S_α | α < ω₁ 〉 heißt dann eine Karo-Folge. Jensen hat gezeigt, dass in L eine Karo-Folge existiert:

 Allgemeiner gilt unter (V = L) ein analoges Prinzip ◇_κ für alle regulären Kardinalzahlen κ ≥ ω₁; das ◇-Prinzip ist dann identisch mit ◇_ω1.

 Dem Leser wird aufgefallen sein, dass die Definition der Folge der (S_α, C_α) genau die Situation (a) − (c) widerspiegelt, die immer vorliegt, wenn irgendeine Folge von S_α keine Karo-Folge ist. Die Rekursion reflektiert diese allgemeine Situation, und die Kondensationseigenschaften im Zusammenspiel mit der Absolutheit der kanonischen Wohlordnung von L garantieren dann, dass wir eine Folge von S_α erhalten, für die die Situation (a) − (c) nicht mehr eintreten kann, weil wir jedes potenzielle Gegenbeispiel (S, C) während der Rekursion beachtet haben.

 Im ersten Abschnitt hatten wir bereits gesehen, dass das Karo-Prinzip die Existenz eines Suslin-Baumes nach sich zieht. Damit erhalten wir:

 Zur Konstruktion eines Modells, in dem keine Suslin-Bäume existieren und folglich die Suslin-Hypothese erfüllt ist, werden wir die iterierte Erzwingungsmethode verwenden.

Kurepa-Bäume in L

 Wir zeigen den folgenden Satz von Solovay:

 Aus unserer Untersuchung kombinatorischer Prinzipien erhalten wir:

Kurepa-Bäume in L[ A ]

 Obige Konstruktion von Kurepa-Bäumen lässt sich auch in vielen relativierten L-Hierarchien durchführen:

 Damit erhalten wir aber:

 Damit können wir aufgrund des zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes in ZFC nicht zeigen, dass die Aussage „Es gibt keinen Kurepa-Baum“ relativ konsistent zu ZFC ist. Die Situation ist hier also fundamental verschieden von der Kontinuums- und der Suslin-Hypothese, die wir samt ihren Negationen in ZFC behandeln können. Erst in der verstärkten Theorie ZFC + „Es gibt eine unerreichbare Kardinalzahl“ kann man, mit Hilfe der Erzwingungsmethode, ein Modell von ZFC + „Es gibt keinen Kurepa-Baum“ konstruieren. Insgesamt sind also die Theorien ZFC + „Es gibt eine unerreichbare Kardinalzahl“ und ZFC + „Es gibt keinen Kurepa-Baum“ äquikonsistent.

Verstärkungen des Karo-Prinzips

 Die Existenz von Suslin-Bäumen hatten wir aus dem Karo-Prinzip abgeleitet. Auch Jensen zeigte zunächst die Existenz von Suslin-Bäumen aus dem Axiom „V = L“, und isolierte dann das Karo-Prinzip aus diesem Beweis. Es stellt sich die Frage, ob es ein verwandtes kombinatorisches Prinzip gibt, mit dessen Hilfe sich Kurepa-Bäume konstruieren lassen. Dies ist in der Tat der Fall. Wir betrachten hierzu einige Varianten des Karo-Prinzips.

 Das Prinzip ◇′ ist eine Abschwächung von ◇. Kunen hat aber gezeigt, dass ◇ bereits aus ◇′ folgt. Das Interesse an obiger Formulierung ist darin begründet, dass die Verstärkung von „stationär“ zu „club“ für abzählbare Rate-Mengen 𝒮_α nicht mehr ausgeschlossen ist. Wir definieren:

 Das Prinzip ◇* impliziert offenbar ◇′ und damit ◇. Es genügt aber noch nicht, um einen Kurepa-Baum zu konstruieren. Hierzu brauchen wir eine weitere Verstärkung:

 Hier raten wir also nicht nur die Anfangsstücke einer Menge club-oft richtig, sondern wir raten auch noch club-oft, wo wir richtig geraten haben. Für dieses Prinzip gelten nun die folgenden Sätze von Jensen, die wir ohne Beweis angeben (siehe e z. B. [ Devlin 1984 ] für Beweise.)

 Das starke Karo-Prinzip ◇⁺ ist also in L richtig, und unabhängig von (V = L) erlaubt es die Konstruktion eines Kurepa-Baumes.

Kanonische Funktionen in L

 Wir zeigen schließlich noch, dass in L die kanonischen Funktionen die schwache Dominierungseigenschaft nicht besitzen. Damit haben wir dann alle kombinatorischen Fragen über ω₁, die wir im ersten Abschnitt untersucht hatten, in L beantwortet. Das Argument geht auf Ketonen zurück.

 Die im ersten Abschnitt aufgestellte Implikationstafel wäre in L also in gestürzter Form zu notieren, mit negierten Prinzipien. Die stärksten Aussagen in einem derartigen Diagramm sind dann die Existenz eines Kurepa-Baumes und die Existenz einer Funktion f : ω₁ → ω₁ mit ∥f∥_𝒞 = ω₂, die zur Negation der schwachen Dominierungseigenschaft der kanonischen Funktionen äquivalent ist. (Obiger Beweis gibt eine solche Funktion f konkret an.)

Die Stärke von „V = L“

 Bereits unsere elementare Untersuchung von L hinterlässt einen Eindruck, den weitere Ausleuchtungen des Modells nur bestätigen: Im konstruktiblen Universum können wir unsere Fragen beantworten. Wir haben das Kontinuums- und das Suslin-Problem gelöst, und bei der Lösung des Suslin-Problems wurde mit dem Karo-Prinzip ein neues kombinatorisches Prinzip gefunden. Weiter haben wir die kombinatorischen Fragen, die die erste überabzählbare Kardinalzahl und speziell ihr club-Filter aufwirft, beantwortet. Und nicht zuletzt löste sich in L auch die ganze Diskussion um das Auswahlaxiom in Wohlgefallen auf. Die Theorie ZF + (V = L) ist ein Meisterstück der axiomatischen Kunst.

 Hat die Mengenlehre gefunden, was sie gesucht hat? Warum ist ZF + (V = L) nicht zum goldenen Fundament der Mathematik erklärt worden? Die gängige vage Antwort auf diese Frage ist, dass das Axiom „V = L“ als restriktiv empfunden wird. Die Präzisierung dieses Eindrucks führt dann schnell in die Debatte um die großen Kardinalzahlen. In L können unerreichbare und Mahlo-Kardinalzahlen existieren, und auch noch schwach kompakte Kardinalzahlen. Danach beginnen die großen Kardinalzahlprinzipien dem strengen konstruktiblen Ansatz zu widerstreiten. Wir werden bei der Diskussion der Ultrapotenzen zeigen, dass es in L keine messbaren Kardinalzahlen geben kann. (Stärker gilt dies bereits für die Ramsey-Kardinalzahlen, die wir bei der Untersuchung der Partitionen kennen gelernt hatten.) Die Theorie der messbaren Kardinalzahlen ist reich an mathematischer Struktur, und L kann, so wird argumentiert, diese Struktur nicht richtig widerspiegeln, weil es in L keine transitiven Modelle von ZFC + „Es gibt eine messbare Kardinalzahl“ geben kann. Man müsste also auf die Transitivität verzichten. Das Model L verteidigend könnte man hinzufügen: Nun, warum nicht?

 Welche von zwei Theorien als die reichere gelten darf, ist eine schwierige und oft auch unsinnige Frage. Anhänger von V = L und großen Kardinalzahlaxiomen können sich gegenseitig vorwerfen, Objekte in ihrem Universum vorzufinden, die ihr Gegenüber nicht hat. Die Theorie ZFC + (V = L) glänzt in jedem Falle mit Klarheit und Vollständigkeit. Sie gibt auf weitaus mehr Fragen Antworten als die Erweiterungen von ZFC um große Kardinalzahlaxiome.