4. Ultrapotenzen und Einbettungen
In diesem Kapitel stellen wir die Konstruktion von Klassenmodellen mit Hilfe von Ultrafiltern vor. Jeder Ultrafilter U auf einer Menge M erzeugt ein Klassenmodell, dessen Träger die nach U faktorisierte Klasse aller Funktionen von M nach V ist. Ist U hinreichend vollständig, so ist dieses Klassenmodell wohlfundiert, und der Mostowski-Kollaps liefert dann ein transitives Klassenmodell W. Wir erhalten zudem eine kanonische Einbettung j : V → W, indem wir jedem x das Mostowski-Bild der Äquivalenzklasse derjenigen Funktion auf M zuordnen, die konstant den Wert x annimmt. Das Modell W ist in diesem Sinne „größer“ als V.
Mit Hilfe der Ultrapotenzen zeigen wir, dass in L keine messbaren Kardinalzahlen existieren können. Weiter liefern die Einbettungen j : V → W die Möglichkeit, große Kardinalzahlprinzipien oberhalb der Messbarkeit durch die Variation eines einzigen Themas zu beschreiben: Wie nahe kann W an V liegen? Ein grundlegendes Resultat von Kunen schließt die Möglichkeit W = V aus.
Ultrapotenzen
Definition (Ultrapotenz von V mit U, Ult(V, U), f =U g, [ f ]U, EU)
Sei U ein Ultrafilter auf einer Menge M. Wir definieren für f, g : M → V:
f =U g, falls { x ∈ M | f (x) = g(x) } ∈ U
[ f ]U = { g | g : M → V, g =U f }cut
[ f ]U EU [ g ]U, falls { x ∈ M | f (x) ∈ g(x) } ∈ U
Ult(U) = Ult(V, U) = { [ f ]U | f : M → V }
Das Klassenmodell 〈 Ult(U), EU 〉 heißt die Ultrapotenz von V mit U.
Wir unterdrücken den U-Index, falls der Ultrafilter aus dem Kontext hervorgeht. Weiter schreiben wir kurz Ult(U) für das allgemeine Klassenmodell 〈 Ult(U), EU 〉.
Bei der Formung der Ultrapotenz ist die Methode des uniformen Stutzens von echten Klassen von großer Bedeutung. Hat M mehr als zwei Elemente, so ist für jede Funktion f : M → V die Äquivalenzklasse von f unter =U eine echte Klasse. Ohne Zurückschneiden wäre Ult(U) also eine Klasse von echten Klassen, und die Konstruktion wäre in ZFC nicht durchführbar.
Die Methode der Ultrapotenzen entstammt der Modelltheorie der mathematischen Logik, die sie für Mengenmodelle entwickelt und untersucht hat. Wie in der Modelltheorie gilt nun auch in unserem Klassenkontext der folgende grundlegende Satz von Łos:
Satz (Satz von Łos)
Sei U ein Ultrafilter auf M. Dann gilt für alle Formeln φ(v1, …, vn) und alle Funktionen f1, …, fn : M → V:
〈 Ult(U), EU 〉 ⊨ φ([ f1 ], …, [ fn ]) gdw { x ∈ M | φ(f1(x), …, fn(x)) } ∈ U.
Beweis
Wir zeigen die Aussage durch Induktion über den Aufbau der Formel φ = φ(v1, …, vn). Dabei nehmen wir zur Vereinfachung der Notation n = 1 an.
φ = „vi = vj“:
| 〈 Ult(U), EU 〉 ⊨ [ fi ] = [ fj ] | gdw [ fi ] = [ fj ] |
| gdw { x ∈ M | fi(x) = fj(x) } ∈ U |
φ = „vi ∈ vj“:
| 〈 Ult(U), EU 〉 ⊨ [ fi ] ∈ [ fj ] | gdw [ fi ] EU [ fj ] |
| gdw { x ∈ M | fi(x) ∈ fj(x) } ∈ U |
φ = ψ ∧ χ:
| 〈 Ult(U), EU 〉 ⊨ ψ([ f ]) ∧ χ([ f ]) | gdw |
| 〈 Ult(U), EU 〉 ⊨ ψ([ f ]) und 〈 Ult(U), EU 〉 ⊨ χ([ f ]) | gdwI. V. |
| { x ∈ M | ψ(f (x)) } ∈ U und { x ∈ M | χ(f (x)) } ∈ U | gdw |
| { x ∈ M | ψ(f (x)) und χ(f (x)) } ∈ U | gdw |
{ x ∈ M | φ(f (x)) } ∈ U
φ = ¬ ψ:
| 〈 Ult(U), EU 〉 ⊨ ¬ ψ([ f ]) | gdw |
| non(〈 Ult(U), EU 〉 ⊨ ψ([ f ]) | gdwI. V. |
| { x ∈ M | ψ(f (x)) } ∉ U | gdw |
{ x ∈ M | φ(f (x)) } ∈ U
φ = ∀w ψ(w, v):
| 〈 Ult(U), EU 〉 ⊨ ∀w ψ(w, [ f ]) | gdw |
| für alle [ g ] ∈ Ult(U) gilt 〈 Ult(U), EU 〉 ⊨ ψ([ g ], [ f ]) | gdwI. V. |
| für alle g : M → V ist { x ∈ M | ψ(g(x), f (x)) } ∈ U | gdw(!) |
| { x ∈ M | für alle w gilt ψ(w, f (x)) } ∈ U | gdw |
{ x ∈ M | φ(f (x)) } ∈ U
Zum Beweis der mit (!) markierten Äquivalenz seien
| Xg | = { x ∈ M | ψ(g(x), f (x)) } für alle g : M → V, |
| X | = { x ∈ M | für alle w gilt ψ(w, f (x)) }. |
Ist X ∈ U, so ist jedes Xg ∈ U, da Xg ⊇ X für alle g : M → V. Die Umkehrung zeigen wir indirekt. Sei also X ∉ U. Wir finden ein g : M → V mit Xg ∉ U. Wir setzen hierzu für alle x ∈ M:
[ Zur Definition von g wird das Kollektionsschema und das Auswahlaxiom verwendet: Für alle x ∈ M − X ist Cx = { w | ¬ψ(w, f (x)) } nichtleer ]
Dann ist Xg ⊆ X, also Xg ∉ U wegen X ∉ U nach Voraussetzung.
Korollar (elementare Äquivalenz von V und Ult(U))
Sei U ein Ultrafilter auf M. Dann gilt für alle Aussagen φ:
〈 Ult(U), EU 〉 ⊨ φ gdw φ.
Insbesondere ist 〈 Ult(U), EU 〉 ein Klassenmodell von ZFC.
Beweis
Für eine Aussage φ ist { x ∈ M | φ } entweder gleich M oder gleich ∅. Aus M ∈ U und ∅ ∉ U folgt dann die Behauptung.
Nach dem Satz von Tarski lässt sich jeder Filter auf einer Menge zu einem Ultrafilter fortsetzen. Damit liefert die Methode der Ultrapotenzen unzählige Beispiele für Klassenmodelle von ZFC. Nach dem Korollar können wir diese Methode allerdings nicht verwenden, um relative Konsistenzresultate zu etablieren. Jede Ultrapotenz spiegelt das Universum treu ab.
Die Konstruktion ist erstaunlich, aber es ist an dieser Stelle noch nicht zu sehen, welch helles Licht sie auf die mengentheoretische Theorie der Ultrafilter wirft. Dies wird sich erst zeigen, wenn wir die Ultrapotenz transitivieren und das Universum in das so erhaltene Klassenmodell von ZFC einbetten.
Wir untersuchen also, unter welchen Bedingungen wir die Ultrapotenz 〈 Ult(U), EU 〉 transitivieren können. Zunächst gilt für jedes f : M → V, dass die EU-Extension von [ f ] in Ult(U) eine Menge ist. Denn für alle [ g ] EU [ f ] existiert ein g′ mit g =U g′ derart, dass g′(x) ∈ f (x) oder g′(x) = 0 für alle x ∈ M gilt, und die Klasse aller dieser g′ ist eine Menge. Weiter ist EU immer eine extensionale Relation auf Ult(U), denn nach dem Satz von Łos gilt das Extensionalitätsaxiom in Ult(U). Für die Wohlfundiertheit von EU sind nun allerdings starke Voraussetzungen an den Ultrafilter U nötig. Es gilt folgende Äquivalenz:
Satz (Wohlfundiertheit der Ultrapotenz)
Sei U ein Ultrafilter auf M. Dann sind äquivalent:
(i) | EU ist wohlfundiert auf Ult(V, U). |
(ii) | Für alle 〈 Xn | n ∈ ω 〉 in U ist ⋂n ∈ ω Xn ≠ ∅. |
(iii) | U ist ω1-vollständig, d. h. für alle 〈 Xn | n ∈ ω 〉 in U gilt ⋂n ∈ ω Xn ∈ U. |
Beweis
non (i) ↷ non (ii):
Gilt [ fn + 1 ] E [ fn ] für alle n ∈ ω, so ist
Xn = { x ∈ M | fn + 1(x) ∈ fn(x) } ∈ U für alle n ∈ ω.
Weiter ist dann ⋂n ∈ ω Xn = ∅, da andernfalls ein x ∈ M existiert mit fn + 1(x) ∈ fn(x) für alle n ∈ ω.
non (ii) ↷ non (i):
Seien Xn ∈ U mit ⋂n ∈ ω Xn ∈ ω = ∅. Ohne Einschränkung gilt X0 = M und Xn + 1 ⊂ Xn für alle n ∈ ω. Wir definieren gn : M → ω durch
gn(x) = max(m − n, 0), wobei x ∈ Xm − Xm + 1, für alle x ∈ M.
Dann gilt [ gn + 1 ] E [ gn ] für alle n ∈ ω, da
{ x ∈ M | gn + 1(x) ∈ gn(x) } = Xn + 1.
(ii) ↷ (iii):
Seien Xn ∈ U für n ∈ ω, und sei Y = ⋂n ∈ ω Xn. Annahme Y ∉ U. Dann ist der abzählbare Schnitt der U-Mengen M − Y, X0, …, Xn, … leer, Widerspruch.
(iii) ↷ (ii):
Klar.
Die Wohlfundiertheit der Ultrapotenz ist ein Paradebeispiel für den Unterschied der Gültigkeit „von außen“ und „von innen“. Nach dem Satz von Łos gilt in jeder Ultrapotenz das Fundierungsaxiom, d. h. das Modell 〈 Ult(U), EU 〉 sieht keine unendlich absteigende EU-Kette. Im Universum dagegen existieren solche Ketten genau dann, wenn U nicht ω1-vollständig ist. Dies ist z. B. für alle Ultrafilter U auf ω der Fall.
Wir definieren:
Definition (transitivierte Ultrapotenz, πU, jU : V → W ≃ Ult(U))
Sei U ein ω1-vollständiger Ultrafilter auf M. Dann sei
πU : Ult(U) → W
der Mostowski-Kollaps. Wir definieren weiter jU : V → W durch
jU(x) = πU([ constx ]U) für alle x ∈ V,
wobei constx(y) = y für alle x ∈ V und alle y ∈ M. Die Funktion jU heißt die zu U gehörige Ultrapotenzeinbettung.
Notation
Wir fassen die Situation zusammen durch
jU : V → W ≃ Ult(U).
Elementare Einbettungen
Die Ultrapotenzeinbettung jU steht fortan im Zentrum des Interesses, und verdrängt letztendlich den Ultrafilter U. Allgemein definieren wir:
Definition (elementare Einbettung)
Seien A, B Klassen. Eine funktionale Klasse j : A → B heißt eine elementare Einbettung von A in B, falls für alle Formeln φ(v1, …, vn) und alle x1, …, xn ∈ A gilt:
A ⊨ φ(x1, …, xn) gdw B ⊨ φ(j(x1), …, j(xn)).
Die Einbettung j heißt nichttrivial, falls ein x existiert mit j(x) ≠ x.
Der Satz von Łos liefert:
Satz (Elementarität der Ultrapotenzeinbettung)
Sei U ein ω1-vollständiger Ultrafilter auf M. Dann ist die Ultrapotenzeinbettung jU : V → W ≃ Ult(U) eine elementare Einbettung von V in W.
Beweis
Sei φ(v1, …, vn) eine Formel, und seien x1, …, xn ∈ V. Dann gilt:
| φ(x1, …, xn) | gdw { x ∈ M | φ(constx1(x), …, constxn(x)) } ∈ U |
| gdwŁos Ult(U) ⊨ φ([ constx1 ], …, [ constxn ]) | |
| gdwπU : Ult(U) → W isomorph W ⊨ φ(πU([ constx1 ]), …, πU([ constxn ])) | |
| gdw W ⊨ φ(jU(x1), …, jU(xn)) |
Ist j : A → B eine elementare Einbettung zwischen zwei inneren Modellen von ZF, so folgt aus α < β stets j(α) < j(β), für alle α, β ∈ On ∩ A. Damit ist α ≤ j(α) für alle α ∈ On. Ist j nichttrivial, so wird eine Ordinalzahl durch j angehoben:
Satz (Einbettungen, die alle Ordinalzahlen fixieren, sind trivial)
Seien A, B innere Modelle von ZF mit B ⊆ A, und sei j : A → B eine elementare Einbettung mit j(α) = α für alle α ∈ On. Dann gilt j(x) = x für alle x ∈ A. Sind A, B innere Modelle von ZFC, so kann auf die Voraussetzung, dass B eine Teilklasse von A ist, verzichtet werden.
Beweis
Wir zeigen die Aussage durch Induktion über rang(x).
Induktionsschritt α:
Für alle y ∈ x gilt y =I. V. j(y) ∈ j(x). Also ist x ⊆ j(x). Sei umgekehrt z ∈ j(x). Aus rang(x) = α folgt, dass rang(j(x)) = j(α). Wegen j(α) = α ist also α = rang(j(x)), und damit ist rang(z) < α. Wegen B ⊆ A ist z ∈ A, und nach I. V. gilt also j(z) = z. Also ist j(z) ∈ j(x) und damit z ∈ x.
Zum Zusatz:
Der gerade geführte Beweis zeigt, dass j(x) = x für alle x ⊆ On2 gilt (denn On2 ∩ B = On2 ⊆ A). Für jedes a ∈ A kann aber b = t. c.({ a }) durch eine Menge x ⊆ On2 kodiert werden: Mit (AC) gibt es ein bijektives g : κ → b in A. Wir setzen dann α E β, falls g(α) ∈ g(β) für alle α, β < κ. Wegen E ⊆ On2 ist j(E) = E, also E ∈ B. Weiter ist in beiden Modellen b der Mostowski-Kollaps von 〈 κ, E 〉, und a das eindeutige Element von b mit größtem Rang. Also ist j(a) = a nach Elementarität.
Nichttriviale elementare Einbettungen heben also eine Ordinalzahl an. Wir definieren:
Definition (kritischer Punkt, crit(j))
Sei j : A → B eine elementare Einbettung zwischen zwei inneren Modellen von ZF. Dann heißt im Falle der Existenz das kleinste α ∈ On mit j(α) > α der kritische Punkt von j, in Zeichen α = crit(j).
Elementare Einbettungen und messbare Kardinalzahlen
Den kritischen Punkt der Einbettung eines Ultrafilters, der die Messbarkeit einer Kardinalzahl bezeugt, können wir leicht ausrechnen:
Satz (kritischer Punkt einer Maß-Einbettung)
Sei κ messbar, und sei U ein nichttrivialer κ-vollständiger Ultrafilter auf κ. Weiter sei j : V → W ≃ Ult(U) die zugehörige elementare Einbettung. Dann gilt crit(j) = κ.
Beweis
Wir zeigen durch Induktion über α < κ, dass j(α) = α.
Induktionsschritt α:
Es gilt α ≤ j(α). Es genügt also zu zeigen: Ist β < j(α), so ist β < α. Sei also β < j(α). Sei f : κ → V mit πU([ f ]) = β. Dann gilt wegen β ∈ j(α), dass [ f ] EU [ constα ], d. h. es gilt
{ γ ∈ κ | f (γ) < α } ∈ U.
κ-vollständig gibt es ein β < α mit { γ < κ | f (γ) = β } ∈ U, d. h. es gilt [ f ] = [ constβ ]. Damit ist also [ constβ ] EU [ constα ]. Dann gilt
β =I. V. j(β) = πU([ constβ ]) ∈ πU([ constα ]) = j(α).
Wir zeigen nun, dass j(κ) > κ. Sei hierzu d : κ → κ die Diagonale auf κ, also d(α) = α für alle α < κ. Dann gilt [ d ] EU [ constκ ] und [ constα ] EU [ d ] für alle α < κ. Also ist α = j(α) < πU([ d ]) < j(κ) für alle α < κ, und so κ < j(κ).
Umgekehrt gilt nun:
Satz (Messbarkeit des kritischen Punktes)
Sei j : V → W, W transitiv, eine elementare Einbettung mit crti(j) = κ. Dann ist κ messbar. Genauer gilt:
U = { x ⊆ κ | κ ∈ j(x) }
ist ein normaler Ultrafilter auf κ mit κ − α ∈ U für alle α < κ, und damit insbesondere κ-vollständig.
Beweis
Ist x ⊆ y ⊆ κ und x ∈ U, so ist κ ∈ j(x) ⊆ j(y), also y ∈ U.
Sind x, y ∈ U, so gilt κ ∈ j(x) ∩ j(y) = j(x ∩ y), also ist x ∩ y ∈ U.
Ist x ⊆ κ, so ist j(x) ∪ j(κ − x) = j(x ∪ (κ − x)) = j(κ) > κ. Also ist κ ∈ j(x) oder κ ∈ j(κ − x), d. h. x ∈ U oder κ − x ∈ U.
Ist x ⊆ κ beschränkt in κ, so ist j(x) = x und damit x ∉ U.
Damit haben wir gezeigt, dass U ein Ultrafilter auf κ ist mit κ − α ∈ U für alle α < κ. Zum Beweis der Normalität sei 〈 xα | α < κ 〉 eine Folge in U. Sei 〈 yα | α < j(κ) 〉 = j(〈 xα | α < κ 〉). Dann ist κ ∈ yα = j(xα) für alle α < κ. Damit gilt
κ ∈ ∆α < j(κ) yα = j(∆α < κ xα),
sodass ∆α < κ xα ∈ U.
Insgesamt haben wir also gezeigt, dass die kritischen Punkte von nichttrivialen elementaren Einbettungen auf V genau die messbaren Kardinalzahlen sind.
Definition (induzierter Ultrafilter, Uj)
Sei j : V → W eine nichttriviale elementare Einbettung, und sei κ = crit(j). Wir setzen:
Uj = { x ⊆ κ | κ ∈ j(x) }.
Uj heißt der durch j induzierte Ultrafilter auf κ.
Aus unserer Analyse fällt als Geschenk ab:
Korollar (Existenz normaler Ultrafilter auf messbaren Kardinalzahlen)
Existiert ein κ-vollständiger nichttrivialer Ultrafilter auf κ > ω, so existiert ein normaler Ultrafilter auf κ, der alle Endstücke κ − α, α < κ, enthält.
Beweis
Sei U ein κ-vollständiger nichttrivialer Ultrafilter auf κ, und sei j : V → W ≃ Ult(U) die zugehörige Abbildung. Dann ist der von j induzierte Ultrafilter normal nach dem obigen Satz.
Wir betrachten normale Ultrapotenzen noch etwas genauer. Insbesondere zeigen wir, dass der induzierte Ultrafilter einer normalen Ultrapotenzeinbettung den verwendeten Ultrafilter reproduziert.
Satz (Charakterisierungen der Normalität)
Sei κ messbar, und sei U ein κ-vollständiger nichttrivialer Ultrafilter auf κ. Dann sind äquivalent:
(i) | U ist normal. |
(ii) | πU([ d ]) = κ, wobei d : κ → κ die Diagonale auf κ ist. |
(iii) | U = UjU, d. h. U ist der von jU induzierte Ultrafilter. |
Beweis
(i) ↷ (ii):
Oben hatten wir bereits gezeigt, dass πU([ d ]) ≥ κ gilt (hier wird die Normalität nicht benötigt). Sei also α < πU([ d ]), und sei πU([ f ]) = α. Dann gilt { γ < κ | f (γ) < d(γ) } ∈ U. Wegen U normal gibt es ein δ mit { γ < κ | f (γ) = δ } ∈ U. Also ist α = πU([ f ]) = πU([ constδ ]) = δ < κ.
(ii) ↷ (iii):
Für alle x ⊆ κ gilt:
| x ∈ UjU | gdw κ ∈ j(x) gdw πU([ d ]) ∈ πU([ constx ]) |
| gdw { γ < κ | γ ∈ x } ∈ U gdw x ∈ U |
(iii) ↷ (i):
Ein induzierter Ultrafilter ist normal nach dem obigen Satz.
In einer normalen Ultrapotenz ist also die Äquivalenzklasse der Diagonale auf κ die κ-te Ordinalzahl. Anders formuliert: Die Diagonale ist für normale Ultrafilter die kleinste unbeschränkte Funktion auf κ. Ist U ein κ-vollständiger nichttrivialer und nichtnormaler Ultrafilter, so gilt { α < κ | f (α) < α } ∈ U für jeden Repräsentanten f : κ → V der κ-ten Ordinalzahl der zugehörigen Ultrapotenz, d. h. für jedes f mit πU([ f ]) = κ. Damit haben wir nicht nur die messbaren Kardinalzahlen von einer ganz anderen Warte aus wieder gefunden, sondern zugleich auch den Begriff der Normalität eines Ultrafilters gestärkt. Die normalen Ultrafilter nötigen der komplexen Ultrapotenz Ult(U) eine übersichtliche Struktur auf und sie sind in diesem Sinne die einfachsten nichttrivialen und κ-vollständigen Filter.
Als eine erste Anwendung der Ultrapotenz-Einbettungen zeigen wir, dass unterhalb von messbaren Kardinalzahlen viele unerreichbare Kardinalzahlen existieren. Bislang wissen wir nur, dass messbare Kardinalzahlen unerreichbar sind, aber wir haben noch nicht bewiesen, dass im Falle der Existenz die kleinste unerreichbare Kardinalzahl echt kleiner ist als die kleinste messbare Kardinalzahl. Dieses Problem ist ein ernstes, und war vor dem triumphalen Einzug der Ultrapotenzen in die Mengenlehre auch lange offen. Wir zeigen mit Leichtigkeit:
Satz (messbar und unerreichbar)
Sei κ eine messbare Kardinalzahl, und sei U ein normaler Ultrafilter auf κ mit κ − α ∈ U für alle α < κ. Dann gilt { α < κ | α ist unerreichbar } ∈ U.
Beweis
Sei j : V → W ≃ Ult(U) die Ultrapotenzeinbettung. Wegen κ unerreichbar ist κ unerreichbar in jedem transitiven Modell von ZFC, also gilt
W ⊨ κ ist unerreichbar.
Wegen U normal gilt πU([ d ]) = κ für die Diagonale d : κ → κ auf κ, also
Ult(U) ⊨ [ d ] ist unerreichbar.
Nach dem Satz von Łos ist dann { α < κ | α ist unerreichbar } ∈ U.
Hatten wir eben noch Schwierigkeiten zu zeigen, dass überhaupt eine unerreichbare Kardinalzahl unterhalb einer messbaren Kardinalzahl existiert, so ertrinken wir nun geradezu in unerreichbaren Zahlen. Ein messbares κ besteht aus der Sicht eines normalen Ultrafilters im Wesentlichen nur aus unerreichbaren Kardinalzahlen. Analog kann man zeigen, dass die Menge { α < κ | α ist Mahlo } und weiter auch die Menge { α < κ | α ist schwach kompakt } Elemente eines normalen Ultrafilters auf einer messbaren Kardinalzahl κ sind.
Übung
Sei U ein normaler Ultrafilter auf κ mit κ − α ∈ U für alle α < κ. Zeigen Sie, dass { α < κ | α ist eine Mahlo-Kardinalzahl } ∈ U gilt.
[ Ein normaler Ultrafilter umfasst den club-Filter, also ist jedes X ∈ U stationär in κ. Wegen { α < κ | α unerreichbar } ∈ U ist also κ eine Mahlo-Kardinalzahl, und dann gilt auch W ⊨ „κ ist Mahlo“. Hieraus folgt wie im Beweis oben die Behauptung. ]
Derartige Reflexionen führen uns die Größe der messbaren Kardinalzahlen eindrucksvoll vor Augen. Hausdorff hatte, von unten zu den unerreichbaren Kardinalzahlen emporblickend, diese als von einer exorbitanten Größe bezeichnet. Blicken wir nun von den schwindelerregenden messbaren Kardinalzahlen auf sie herab, so erscheint das einstmals Große klein. Wir haben einen großen Sprung mit geschlossenen Augen gemacht und sind in einer Welt gelandet, ohne den Weg dorthin zu kennen. Der Blick von unten hinauf zu dieser Welt verliert sich, ein dichter Nebel liegt unterhalb der Gipfel der messbaren Kardinalzahlen. Der Blick ins Weite ist von dort aus frei und klar, und wir atmen eine neue und ungeahnte Luft. Aber wir können sie, die Reihe der Ordinalzahlen nach oben blickend, nicht mehr so sehen, wie wir die unerreichbaren Kardinalzahlen sehen können. Die Verschwommenheit beginnt bereits im Bereich der Mahlo-Kardinalzahlen, und von dort bis hinauf zu den messbaren Kardinalzahlen wird es immer unschärfer und dunkler. Rechtfertigungen für die Existenzannahme messbarer Kardinalzahlen sind anderswo zu suchen als im bloßen transfiniten Zählen und dem immer fortgesetzten Weiterzählen. In ihrer Strukturtheorie, und in ihrem Verhältnis zu anderen Aussagen der Mengenlehre und allgemeiner der Mathematik. Und hier spielen die elementaren Einbettungen eine Schlüsselrolle. Es geht um ihr Verständnis, um die Möglichkeit, das Universum in einer Teilklasse seiner selbst abzubilden. Die Ultrafilter treten zurück, werden zum Hilfsmittel degradiert, die untersuchten Klasseneinbettungen formal korrekt in einer Sprache zu kodieren, in der echte Klassen keine wirklichen Objekte sind. Es ist verblüffend, dass dies überhaupt möglich ist, und dass wir auch für stärkere Einbettungsprinzipien immer noch kodierende Objekte finden können. Aber die elementaren Einbettungen sind des Pudels Kern.
Die Inkonsistenz des kühnen Begriffs einer elementaren Einbettung kann niemand ausschließen. Wenn man überhaupt von einer „Wahrscheinlichkeit der Inkonsistenz“ reden kann, so wird diese entlang der großen Kardinalzahlaxiome immer größer. Es gibt zudem keinen Grund zur Annahme, dass ein Widerspruch immer in wenigen Zeilen ans Licht kommen müsste, wenn es ihn denn gibt. Ein hochgradig komplexer Beweis, der einem bestimmten interessanten Prinzip letztendlich das Kreuz bricht, steht noch aus. Wir werden unten ein Argument kennen lernen, das noch relativ kurz zeigt, dass Einbettungen mit bestimmten Eigenschaften nicht existieren.
Zuvor wollen wir aber noch zeigen, dass das Axiom V = L die Existenz von messbaren Kardinalzahlen in aller Bestimmtheit zurückweist.
Messbare Kardinalzahlen und L
Wir zeigen nun folgenden ebenso einfachen wie grundlegenden Satz von Scott, der historisch die via Ultrapotenzen konstruierten Klassenmodelle in der Mengenlehre eingeführt hat:
Satz (messbare Kardinalzahlen in L, Satz von Scott)
Es gelte (V = L). Dann existiert keine messbare Kardinalzahl.
Beweis
Annahme doch. Sei dann κ die kleinste messbare Kardinalzahl. Weiter sei U ein κ-vollständiger nichttrivialer Ultrafilter auf κ, und es sei
jU : V → W ≃ Ult(U)
die zugehörige elementare Einbettung. Dann gilt:
W ⊨ „j(κ) ist die kleinste messbare Kardinalzahl“.
Wegen (V = L) gilt W ⊨ (V = L). Da W ein transitives Modell von ZF ist, gilt W = L. Also gilt
L ⊨ „j(κ) ist die kleinste messbare Kardinalzahl“,
im Widerspruch zu (V = L), κ < j(κ) und der Definition von κ.
Speziell gilt:
Korollar
Es gelte (V = L). Dann existiert keine nichttriviale elementare Einbettung j : V → V.
Beweis
Andernfalls ist crit(κ) eine messbare Kardinalzahl in L.
Nach einem Satz von Kunen kann hier auf die Voraussetzung (V = L) verzichtet werden. Diesen Satz werden wir unten beweisen. Vorab formulieren wir noch ein Axiom, das nach obigem Korollar dem Axiom (V = L) widerspricht:
Zero-Sharp (0#)
Es gibt eine nichttriviale elementare Einbettung j : L → L.
Diese Formulierung verlässt die Ausdrucksstärke von ZFC, da wir über elementare Einbettungen nicht quantifizieren dürfen. Dennoch lässt sich eine ZFC-Aussage φ finden, die genau leistet, was wir wollen: Gilt φ, so können wir eine nichttriviale elementare Einbettung j : L → L konstruieren. Ist umgekehrt j : L → L eine durch eine Formel gegebene nichttriviale Einbettung, so können wir zeigen, dass φ richtig ist. Die Aussage φ lässt sich mit Hilfe von Ultrafiltern über L formulieren, und man kann erstaunlicherweise sogar eine gleichwertige Aussage φ′ finden, die die Existenz einer elementaren Einbettung von L nach L durch eine reelle Zahl kodiert. Damit behauptet das durch φ′ in ZFC formalisierte Axiom (0#) die Existenz einer reellen Zahl mit bestimmten Eigenschaften. (Die Namensgebung „Zero-Sharp“ ist durch diese Formulierung motiviert.) Eine solche Kodierung ist eine nichttriviale Angelegenheit, und wir verweisen den Leser hierzu auf die Literatur.
Zero-Sharp ist das erste große Kardinalzahlprinzip, das nicht mit V = L verträglich ist. Die Aussage liegt in ihrer Stärke oberhalb von schwach kompakten Kardinalzahlen und unterhalb von Ramsey-Kardinalzahlen. Einfach zu sehen ist, dass die Messbarkeit die Existenz einer nichttrivialen elementaren Einbettung von L nach L nach sich zieht. Hierzu betrachten wir allgemein Einschränkungen von elementaren Abbildungen:
Satz (Einschränkung einer elementaren Abbildung)
Sei j : V → W eine elementare Einbettung. Weiter sei A = { x | χ(x) }.
Dann ist j|A : A → AW eine elementare Abbildung, wobei wieder
AW = { x ∈ W | W ⊨ χ(x) }.
Beweis
Für jedes x ∈ A gilt χ(x), also gilt W ⊨ χ(j(x)). Damit ist rng(j) ⊆ AW. Für jede Formel φ gilt zudem:
(+) (φA)W ist logisch äquivalent zu φ(AW).
Beweis von (+) durch Induktion über den Aufbau von φ
Wir zeigen den Quantorschritt. Alle anderen Fälle sind einfach zu sehen. Sei also φ = ∀x ψ. Dann gilt:
| (φA)W | gdw (∀x. χ(x) → ψA)W |
| gdw ∀x. x ∈ W → (χ(x) → ψA)W | |
| gdw ∀x. x ∈ W → (χW(x) → (ψA)W) | |
| gdw ∀x. x ∈ W ∧ χW(x) → ψ(AW) | |
| gdw ∀x. x ∈ AW → ψ(AW) | |
| gdw φ(AW) |
Für alle x ∈ A und Formeln φ(v) gilt damit:
φA(x) gdw W ⊨ φA(j(x)) gdw (φA)W(j(x)) gdw(+) φ(AW)(j(x)).
Die Absolutheit von L liefert:
Korollar (messbare Kardinalzahlen und (0#))
Sei κ eine messbare Kardinalzahl. Dann gilt (0#).
Beweis
Sei U ein nichttrivialer κ-vollständiger Ultrafilter auf κ, und sei j : V → W ≃ Ult(U) die zugehörige Ultrapotenzeinbettung. Es gilt LW = L. Nach dem obigen Satz ist also j|L : L → L eine elementare Einbettung. Wegen j(κ) > κ ist zudem j nichttrivial.
Nichttriviale elementare Einbettungen von L nach L können also in L nicht existieren. Sie können aber, unter gewissen starken Voraussetzungen, im Universum existieren, und unsere Überlegung zeigt, wie eine messbare Kardinalzahl zu einer nichttrivialen Einbettung des konstruktiblen Universums in sich selbst führt.
Abschlusseigenschaften des Zielmodells
Wir sammeln einige Abschlusseigenschaften einer Maß-Ultrapotenz. Insbesondere zeigt sich, dass der generierende Ultrafilter bei der Ultrapotenzbildung verloren geht (Eigenschaft (viii)):
Satz (Abschlusseigenschaften einer Maß-Ultrapotenz)
Sei κ messbar, und sei U ein κ-vollständiger nichttrivialer Ultrafilter auf κ. Weiter sei j : V → W ≃ Ult(U). Dann gilt:
(i) | j|Vκ = Id|Vκ |
(ii) | Vk + 1 ⊆ W |
(iii) | (κ+)W = κ+ |
(iv) | 2κ < j(κ) < (2κ)+ |
(v) | κW ⊆ W |
(vi) | sup(j″κ+) = j(κ+) |
(vii) | j″κ+ ∉ W |
(viii) | U ∉ W |
Beweis
zu (i):
Wie oben durch Induktion nach α = rang(x) < κ mit Hilfe von j(α) = α.
zu (ii):
Für alle x ⊆ Vκ ist x = j(x) ∩ κ ∈ W.
zu (iii):
Sei κ ≤ α < κ+. Dann existiert eine Wohlordnung < auf κ mit o. t.(〈 κ, < 〉) = α. Wegen < ⊆ κ2 ist < ∈ W, und damit ist |α|W = κ.
zu (iv):
Es gilt ℘(κ)W = ℘(κ), und folglich
2κ = |℘(κ)| ≤ |℘(κ)|W = (2κ)W.
Weiter ist κ unerreichbar. Also ost j(κ) unerreichbar in W und damit (2κ)W < j(κ). Wegen
j(κ) = πU([ constκ ]) = { πU([ f ]) | f : κ → κ }
ist zudem j(κ) < (2κ)+.
zu (v):
Seien fα, α < κ, Funktionen von κ nach V. Wir finden eine Funktion g : κ → V mit πU([ g ]) = 〈 πU([ fα ]) | α < κ 〉. Sei hierzu h : κ → κ mit πU([ h ]) = κ. Für alle γ < κ setzen wir nun
g(γ) = „die Funktion f(·)(γ) auf h(γ)“,
d. h. wir setzen g(γ)(α) = fα(γ) für α < h(γ). Dann ist πU([ g ]) eine Funktion auf πU([ h ]) = κ, und für alle α < κ gilt
πU([ g ])(α) = πU([ g ])(πU([ constα ])) = πU([ fα ]).
Also ist g wie gewünscht.
zu (vi):
Sei f : κ → κ beliebig mit πU([ f ]) < j(κ+). Dann ist δ = sup(rng(f)) < κ+ und weiter πU([ f ]) ≤ πU([ constδ ]) = δ.
zu (vii):
Es gilt o. t. j″κ+ = κ+ ≤ 2κ <(iv) j(κ+), und j(κ+) ist regulär in W. Damit folgt die Behauptung aus (vi).
zu (viii):
Wir definieren k : κκ → j(κ) durch k(f) = πU([ f ]) für alle f : κ → κ. Nach (v) ist κκ = (κκ)W ∈ W. Ist also U ∈ W, so ist auch k ∈ W (denn für alle f : κ → κ ist f ∈ Vκ + 1 = (Vκ + 1)W, und damit gilt [ f ]U = ([ f ]U)W). Also gilt W ⊨ j(κ) ≤ (2κ)+, im Widerspruch zu W ⊨ „j(κ) ist unerreichbar“.
Insbesondere ist die transitivierte Maß-Ultrapotenz W eine echte Teilklasse des Universums. Der folgende fundamentale Satz von Kunen besagt nun, dass eine nichttriviale Einbettung des Universums in sich selbst generell nicht zu haben ist. Er benutzt das folgende kombinatorische Ergebnis von Erdös und Hajnal (1966):
Satz
Sei λ ≥ ω eine Kardinalzahl mit 2λ = λω. Dann gibt es ein f : [ λ ]ω → λ mit:
Für alle x ⊆ λ mit |x| = λ ist f ″[ x ]ω = λ.
Beweis
Sei g : 2λ → [ λ ]λ × λ bijektiv, und sei g = 〈 (xα, γα) | α < 2λ 〉. Wir definieren rekursiv für α < 2λ:
aα = „ein a ∈ [ xα ]ω mit a ≠ aβ für alle β < α“.
Ein solches a existiert, da |[ xα ]ω| = λω = 2λ nach Voraussetzung. Wir definieren nun f : [ λ ]ω → λ durch:
Dann ist f wie gewünscht. Denn sei x ∈ [ λ ]λ, und sei γ < λ. Dann gibt es ein α mit (x, γ) = (xα, γα), und dann ist aα ∈ [ x ]ω und f (aα) = γ.
Damit können wir nun zeigen:
Satz (Satz von Kunen, Schranke für die Abgeschlossenheit des Zielmodells)
Sei j : V → W, W transitiv, eine nichttriviale elementare Einbettung. Dann gilt W ≠ V. Genauer gilt non(λW ⊆ W), wobei
λ = supn ∈ ω κn, mit κ0 = crit(j) und κn + 1 = j(κn) für alle n ∈ ω.
Beweis
Annahme, λW ⊆ W. Dann gilt für alle n ∈ ω:
(+) κn ist eine messbare Kardinalzahl.
Beweis von (+) durch Induktion nach n ∈ ω
Zunächst ist κ0 = crit(j) messbar. Ist κn messbar in V für ein n ∈ ω, so ist j(κn) = κn + 1 messbar in W nach Elementarität. Ist U ein nichttrivialer κn + 1-vollständiger Ultrafilter auf κn + 1 in W, so ist U wegen λW ⊆ W auch ein derartiger Ultrafilter in V.
Damit ist λ = supn ∈ ω κn eine starke Limeskardinalzahl. Folglich gilt 2λ = λcf (λ) = 2ω. Sei also f : [ λ ]ω → λ mit f ″[ x ]ω = λ für alle x ∈ [ λ ]λ. Es gilt
j(λ) = sup(j({ κn | n ∈ ω })) = sup({ κn + 1 | n ∈ ω }) = λ.
Also gilt für g = j(f):
W ⊨ „g : [ λ ]ω → λ und für alle x ∈ [ λ ]λ gilt g″[ x ]ω = λ“.
Wir betrachten nun
x* = j″λ.
Dann ist x* ∈ [ λ ]λ ⊆ W. Also gibt es ein a ∈ [ x* ]ω mit g(a) = κ. Wegen a ⊆ ″λ und |a| = ω gilt j(b) = a für b = j−1″a. Also ist
j(f (b)) = j(f)(j(b)) = g(a) = κ,
sodass κ ∈ rng(j), Widerspruch.
Das Argument verwendet das Auswahlaxiom. Es ist bislang kein Beweis bekannt, der die Existenz einer nichttrivialen elementaren Einbettung j : V → V in ZF widerlegen würde.
Starke große Kardinalzahlaxiome
Die großen Kardinalzahlaxiome oberhalb der Messbarkeit folgen einem gemeinsamen Grundmuster. Sie behaupten die Existenz einer nichttrivialen elementaren Einbettung j : V → W, W transitiv, und fordern stärkere und stärkere Abschlusseigenschaften für das Zielmodell W. Eine inkonsistente obere Schranke ist nach dem Satz von Kunen die Abschlusseigenschaft V = W und genauer λW ⊆ W, wobei λ das Supremum der kritischen Folge 〈 κn | n ∈ ω 〉 der Einbettung ist, d. h. κ0 = crit(j) und κn + 1 = j(κn) für alle n ∈ ω. Es ist nicht auszuschließen, dass sich diese obere Schranke noch verbessern lässt.
Wir definieren nun einige starke große Kardinalzahlaxiome über elementare Einbettungen und Abschlusseigenschaften des Zielmodells, damit der Leser einen Eindruck von dieser Welt bekommt. Diese starken Prinzipien können wir hier nicht weiter untersuchen. Zudem ignorieren wir das Problem, äquivalente Formulierungen in ZFC zu finden. Die Existenz einer nichttrivialen elementaren Einbettung j : V → W konnten wir ja in ZFC durch die Existenz eines bestimmten Ultrafilters ausdrücken. Auch für die folgenden Prinzipien sind ZFC-Definitionen möglich. Die Sprache der elementaren Einbettungen ist es aber, die die Essenz dieser Prinzipien am klarsten auszudrücken vermag.
In der folgenden Definition steht „j : V → W“ kurz für „j : V → W ist eine elementare Einbettung und W ist transitiv“.
Definition (einige große Kardinalzahlen oberhalb von messbar)
Eine Kardinalzahl κ heißt eine:
(i) | messbare Kardinalzahl, falls es ein j : V → W gibt mit crit(j) = κ, |
(ii) | starke Kardinalzahl, falls es für alle α ∈ On ein j : V → W gibt mit crit(j) = κ und Vα ⊆ W, |
(iii) | Woodin-Kardinalzahl, falls es für jedes f : κ → κ ein γ < κ und ein j : V → W gibt mit f″γ ⊆ γ, crit(j) = γ, Vj(f)(γ) ⊆ W, |
(iv) | superstarke Kardinalzahl, falls es ein j : V → W gibt mit crit(j) = κ und Vj(κ) ⊆ W, |
(v) | superkompakte Kardinalzahl, falls es für alle α ∈ On ein j : V → W gibt mit crit(j) = κ und αW ⊆ W, |
(vi) | riesige Kardinalzahl, falls es ein j : V → W gibt mit crit(j) = κ und j(κ)W ⊆ W, |
(vii) | n-riesige Kardinalzahl für ein n ∈ ω, falls es ein j : V → W gibt mit crit(j) = κ und jn(κ)W ⊆ W. |
Es stellt sich heraus, dass sich auch für die großen Kardinalzahlaxiome unterhalb der Messbarkeit äquivalente Formulierungen finden lassen, die dem Charakter der obigen Liste näher kommen als die originalen Definitionen. Wir geben ohne Beweis solche Versionen für die unerreichbaren Kardinalzahlen, die Mahlo-Kardinalzahlen sowie die schwach kompakten Kardinalzahlen an.
Satz (Reflexionsversionen unterhalb der Meßbarkeit)
Für alle κ gilt:
(a) | κ ist unerreichbar gdw für alle A ⊆ Vκ gibt es ein α < κ mit 〈 Vα, ∈ , A ∩ Vα 〉 ≼ 〈 Vκ, ∈ , A 〉 |
(b) | κ ist Mahlo gdw für alle A ⊆ Vκ gibt es ein unerreichbares α < κ mit 〈 Vα, ∈ , A ∩ Vα 〉 ≼ 〈 Vκ, ∈ , A 〉. |
(c) | κ ist schwach kompakt gdw für alle A ⊆ Vκ gibt es ein transitives M ≠ Vκ und ein B ⊆ M mit 〈 Vκ, ∈ , A 〉 ≼ 〈 M, ∈ , B 〉. |
Auch unterhalb der Unerreichbarkeit können wir noch verwandte Reflexionsprinzipien formulieren:
Weitere Reflexionsprinzipien
Wir betrachten die folgenden Aussagen:
(1) | Es gibt eine unerreichbare Kardinalzahl κ. |
(2) | Es gibt α < β mit Vα ≼ Vβ. |
(3) | Es gibt ein α mit Vα ⊨ ZFC. |
(4) | Es gibt eine transitive Menge M mit M ⊨ ZFC. |
(5) | Es gibt eine Menge M mit M ⊨ ZFC und ωM = ω. |
(6) | Es gibt eine Menge M mit M ⊨ ZFC. |
Es gelten alle Implikationen von oben nach unten.
Ist κ eine unerreichbare Kardinalzahl, so zeigt die Konstruktion einer elementaren Kette von Submodellen, dass
C = { α < κ | Vα ≼ Vκ }
eine club-Menge ist. Insbesondere gilt dann
Vα ⊨ ZFC für alle α ∈ C.
Bereits eine unerreichbare Kardinalzahl führt also zu einer Flut von Stufen der von Neumann-Hierachie, die allesamt transitive Modelle von ZFC sind.
Die großen Kardinalzahlaxiome lassen sich in drei Bereiche aufteilen:
A) | Kleine große Kardinalzahlen Den ersten Bereich bilden die Prinzipien, die kompatibel mit L sind. Dazu gehören die unerreichbaren, die Mahlo-Kardinalzahlen und die schwach kompakten Kardinalzahlen. Der erste Bereich wird durch das Axiom Zero-Sharp, das die Existenz einer nichttrivialen elementaren Einbettung von L nach L fordert, scharf abgegrenzt. |
B) | Mittelgroße große Kardinalzahlen Ab Zero-Sharp beginnt der zweite Bereich, der sich bis unterhalb der messbaren Zahlen erstreckt, und dem insbesondere die Ramsey-Kardinalzahlen angehören. |
C) | Sehr große Kardianzahlen Der dritte Bereich beginnt mit den messbaren Kardinalzahlen und lotet aus, wie V-ähnlich das Zielmodell einer elementaren Einbettung sein kann. |
Die Aufgabe der inneren Modelltheorie ist es, kanonische L-ähnlich gebaute Modelle zu konstruieren, in denen große Kardinalzahlen auch des zweiten und weiter dann des dritten Bereichs existieren können. (Alle diese Modelle sind von der Form L[ A ] für eine Klasse A.) Für den zweiten Bereich ist das Maß der Dinge das sog. Kernmodell KDJ von Dodd und Jensen. Weiter sind gute L-ähnliche Modelle dann durch Dodd, Jensen, Mitchell, Steel und anderen konstruiert und untersucht worden, die einige Kardinalzahlen des dritten Bereichs einfangen. In der Region von Woodin-Kardinalzahlen treten dann größere Probleme auf, und viele der starken Prinzipien sind zur Zeit bei weitem noch nicht so gut verstanden wie z. B. die messbaren Kardinalzahlen oder die Prinzipien der ersten beiden Bereiche.
Eine Einigkeit über die „Wahrheit“ der Prinzipien ist selbst für Kardinalzahlen des ersten Bereichs nicht in Sicht, auch nicht unter denen, die der modernen Mengenlehre besonders weite neue Wege eröffnet haben und denen man deswegen vielleicht die tiefsten Einblicke in die Mengenwelt zubilligen mag.
Eine Aufgabe der axiomatischen Mengenlehre ist die Messung der Stärke von kombinatorischen Prinzipien auf der Skala der großen Kardinalzahlaxiome. Wer würde es einem Prinzip wie der schwachen Dominierungseigenschaft ansehen, dass es die Existenz einer nichttrivialen elementaren Einbettung von L nach L impliziert? Wir hatten gezeigt, dass dieses Prinzip impliziert, dass V ≠ L ist, und eine genauere Analyse der verwendeten Methoden würde uns eine elementare Einbettung j : L → L ungleich der Identität liefern. Weiter hatten wir gesehen, dass die Nichtexistenz eines Kurepa-Baumes dazu führt, dass ω2 eine unerreichbare Kardinalzahl in L ist. Andere kombinatorische Prinzipien dagegen sind wesentlich stärker, so ist die Saturiertheit des club-Filters auf ω1 äquikonsistent zu einer Woodin-Kardinalzahl, und die ω1-Dichtheit des club-Filters auf ω1 äquikonsistent zu ω-vielen Woodin-Kardinalzahlen. Die starke Dominierungseigenschaft ist äquikonsistent zu einer unerreichbaren Kardinalzahl κ, die ein Limes von messbaren Kardinalzahlen ist. Diese Resultate werden i. A. mit einer Kombination zweier Techniken gewonnen: In der einen Richtung nimmt man ein kombinatorisches Prinzip als gegeben an, und sucht dann nach großen Kardinalzahlen in L-ähnlichen inneren Modellen. Zum anderen startet man mit geeignet großen Kardinalzahlen, und versucht, mit Hilfe der Erzwingungsmethode Modelle eines kombinatorischen Prinzips zu konstruieren. Damit nähert man sich, oft schrittweise, einer optimalen Kardinalzahlhypothese von unten und von oben an. Es ist bemerkenswert, dass die großen Kardinalzahlaxiome solche optimalen Hypothesen zur Verfügung stellen, die dann mit einem bestimmten kombinatorischen Prinzip äquikonsistent relativ zu ZFC sind. Oft lassen sich zwei Prinzipien erst dadurch miteinander vergleichen, dass man beide auf der Skala der großen Kardinalzahlen misst. Das Wort „Skala“, das einen linearen Charakter suggeriert, ist hier angemessen. In vielen Fällen impliziert ein stärkeres großes Kardinalzahlaxiom (K1) direkt die Existenz von Kardinalzahlen des schwächeren Typs (K2). Und in jedem Falle gilt: Ist κ die kleinste Kardinalzahl des Typs (K1), so existiert in Vκ eine Kardinalzahl des Typs (K2). Eine allgemeine Definition, was ein großes Kardinalzahlaxiom ist, existiert allerdings nicht.