5. Die Erzwingungsmethode

Wir wollen nun die von Paul Cohen Anfang der 1960er-Jahre entwickelte Erzwingungsmethode (forcing) vorstellen. Sie ist insbesondere dazu geeignet, die Konsistenz der folgenden Aussagen relativ zu ZFC zu zeigen:

Die Methode der inneren Modelle kommt für diese Ziele nicht in Frage, wie folgende Überlegung zeigt. Sei M ein transitives Klassenmodell von ZFC. Das Modell M könnte nun das kleinste transitive Modell von ZFC sein, also die kleinste Stufe L_γ der L-Hierarchie mit L_γ ⊨ ZFC (L_γ = L ist hier möglich). Jedes transitive Modell N ⊆ M von ZFC ist dann wegen L_N ∩ On = L^N ⊆ N und minimaler Wahl von γ identisch mit M, und erfüllt daher die Aussagen V = L, (CH) und ¬ (SH). Es gibt also keine allgemein durchführbare Methode, durch eine die Transitivität erhaltende Verkleinerung eines Modells auch nur eines der obigen relativen Konsistenzresultate zu gewinnen. Cohens Erzwingungsmethode erweitert gegebene transitive Modelle von ZFC anstatt sie zu reduzieren, und in diesem Sinne sind die Ansätze von Gödel und Cohen komplementär.

 Die Erzwingungsmethode verläuft im Überblick wie folgt: Wir starten mit einem abzählbaren transitiven Modell M von ZFC. (Um Rechtfertigungen dieser über die bloße Widerspruchsfreiheit von ZFC hinausgehenden Annahme kümmern wir uns später.) In unserem Modell M betrachten wir eine prinzipiell beliebige partielle Ordnung 〈 P, ≤ 〉. Diese Ordnung beschreibt Approximationen an ein Objekt, das wir zu M hinzufügen möchten, z. B. eine neue Teilmenge von ω. Ein solches Objekt heißt ein M-generischer Filter über P. Solche Filter sind gewisse Teilmengen G ⊆ P, die M selbst, von trivialen Ausnahmen abgesehen, nicht kennt, d. h. es gilt G  ∉  M. Die Erweiterung von M um G kann nun immer derart durchgeführt werden, dass für das entstehende Modell M [ G ] neben M ⊆ M[ G ] und G  ∈  M[ G ] gilt:

 Das Modell M[ G ] ist also immer noch ein gutes, transitives Modell von ZFC, und die Erweiterung fügt keine Ordinalzahlen zu dem Modell hinzu. Zudem ist die Erweiterung minimal, was die aus der Algebra bekannte Schreibweise M[ G ] mit eckigen Klammern motiviert (vgl. z. B. die Körpererweiterung ℚ[ $\sqrt{2}$ ]).

 Das Modell M kennt den generischen Filter G nicht, kann aber genau beschreiben, was in einer minimalen Erweiterung von M um G alles gelten wird: Gilt in M[ G ] eine Aussage, so gibt es ein p  ∈  G, das − in einem zu präzisierenden Sinne − erzwingt, dass diese Aussage in M[ G ] gilt. Diese Kontrolle der Eigenschaften der Erweiterung durch das Grundmodell gibt der Theorie ihren Namen.

 Neben der genauen inhaltlichen Durchführung dieser Beschreibung werden wir uns weiter darum kümmern müssen, dass die Methode tatsächlich relative Konsistenzresultate über ZFC liefert. Wir werden zeigen, dass für jedes abzählbare transitive M und jede partielle Ordnung in M immer ein generischer Filter G existiert. Schließlich argumentieren wir, dass unser Startpunkt „sei M ein abzählbares transitives Modell von ZFC“ kein wirkliches Hindernis für die angestrebten Konsistenzbeweise darstellt, die ja nur die Widerspruchsfreiheit von ZFC voraussetzen.

Generische Filter

 Wir stellen zuerst den begrifflichen Rahmen für die Erzwingungsmethode zusammen. Den Ausgangspunkt bilden partielle Ordnungen.

 Englisch heißt eine Bedingungsmenge (notion of) forcing oder oft auch p.o.-set, wobei p. o. für partial order steht. Die Elemente von P heißen (forcing) conditions.

 Alternativ kann man die Erzwingungsmethode auch auf der Grundlage von Booleschen Algebren aufbauen. Beide Ansätze hängen eng miteinander zusammen. Den Zugang über Boolesche Algebren diskutieren wir später.

 Für unsere Ziele spielt neben der Vergleichbarkeitsrelation die Verträglichkeit zweier Elemente eine Hauptrolle:

 Betrachten wir die Elemente von P als abstrakte Informationen, so sind also zwei Informationen genau dann verträglich, wenn es eine dritte Information gibt, die beide Informationen umfasst.

 Von größter Bedeutung in der Erzwingungsmethode ist nun der Begriff einer dichten Teilmenge einer partiellen Ordnung. Wir geben die Definition gleich zusammen mit einigen Varianten an.

 „Dicht“ meint hier also „dicht nach unten“. Sei etwa P die Menge aller endlichen 0-1-Folgen, geordnet durch umgekehrte Inklusion, und sei s ein beliebiges Element von P. Dann ist die Menge D aller p  ∈  P, die mit der Folge s enden, dicht in P. Denn für alle p  ∈  P ist die Verlängerung von p um s, also q = p ⁀ s, ein Element von D, und es gilt q ≤ p.

 Jede dichte Menge ist offenbar auch prädicht. Ist D prädicht, so ist die Menge

D′  =  { r  ∈  P | es gibt ein q  ∈  D mit r ≤ q }

offen dicht in P.

 Die Objekte, die uns interessieren, sind spezielle Filter auf Bedingungsmengen:

 Filter sind also „nach oben“ abgeschlossen in der Ordnung. Je zwei Elemente eines Filters sind miteinander verträglich, und weiter findet sich im Filter immer auch ein Zeuge für die Verträglichkeit.

 Die erzeugende Kraft eines Filters beschreibt der folgende Begriff:

 Ein Leitmotiv für das Folgende ist: Wir suchen und studieren Filter, die möglichst viele dichte Teilmengen von P treffen. Wir interessieren uns also für 𝒜-generische Filter für möglichst umfassende Systeme 𝒜.

 Ein ebenso einfacher wie grundlegender Existenzsatz für generische Filter ist:

 Dagegen ist volle Generizität bis auf triviale Ausnahmen nicht zu haben:

 Bevor wir nun die Modellerweiterung definieren, wollen wir noch den Einsatz von generischen Filtern illustrieren.

Das Modell M[ G ] und die Funktion i_G

 Zur Vermeidung von Wiederholungen vereinbaren wir:

 Existiert ein transitives Modell von ZFC, so existiert nach dem Satz von Löwenheim-Skolem auch ein abzählbares transitives Modell von ZFC. Solche Modelle spielen im Folgenden eine wichtige Rolle, da für jedes solche Modell M und jede Bedingungsmenge 〈 P, < 〉 in M nach obigem Existenzsatz ein M-generischer Filter G auf P existiert.

 Wir können zu jedem Modell M und jedem Filter G auf einer Bedingungsmenge P  ∈  M ein Modell M [ G ] konstruieren, das M umfasst und G als Element enthält. Zuerst definieren wir eine  ∈ -Relation „aus der Sicht“ eines Filters G:

 Der Filter G gibt also die „guten“ Elemente von P vor, und ein a  ∈  M gilt im Sinne von G nur dann als ein Element eines b  ∈  M, wenn a in b mindestens einmal mit dem Prädikat oder dem Zettel „gut“ versehen ist. Gilt (a, p), (a, q)  ∈  b mit p  ∈  G, q  ∉  G, so ist a  ∈ _G b.

 Da der Filter G im Allgemeinen kein Element des Modells M ist, ist die Relation  ∈ _G im Allgemeinen auch keine definierbare Klasse in M. Die Relation  ∈ _G ist in V definiert.

 Die Relation  ∈ _G ist wohlfundiert, denn gilt a  ∈ _G b, so existiert ein p  ∈  P mit (a, p)  ∈  b, und folglich gilt rang(a) < rang((a, p)) < rang(b). Wir können also rekursive Definitionen über  ∈ _G durchführen.

 Zur Verdeutlichung schreiben wir zuweilen i^M_G oder i^{M, P}_G statt lediglich i_G.

 Jedes Element a von M ist also ein Name für irgendetwas (Shoenfield-Konvention). Sobald ein Filter G auf P vorliegt, bestimmt jedes a  ∈  M ein bestimmtes Objekt i_G(a)  ∈  M [ G ].

 Die Elemente von M [ G ] haben viele Namen in M, man sieht z. B. sofort eine Flut von Namen der leeren Menge. Ist a  ∈  M derart, dass a ∩ (M × P) = ∅, so ist a für alle Filter G auf P ein Name für die leere Menge. Die mangelnde Injektivität der Funktion i_G ist aber kein Hindernis für die Intuition, dass M [ G ] eine Erweiterung von M ist. Wir werden gleich zeigen, dass stets M ⊆ M [ G ] gilt.

 Die Umwandlung von a in i_G(a) hängt im Allgemeinen natürlich von dem Filter G ab. Einige Namen sind allerdings derart gebaut, dass wir das Ergebnis der G-Interpretation für alle Filter G bestimmen können. Die folgende Definition gibt die wichtigsten Beispiele für Namen dieser Art.

 Die Funktion ^ ist eine definierbare Klasse in M und G° ist ein Element von M. Die Bezeichnung G° ist eine reine Konvention. Zur Definition von G°  ∈  M wird kein Filter G auf P, sondern nur P selbst benutzt.

 Die Interpretationen von â und G° können wir unabhängig von G bestimmen:

 Damit gilt stets M ⊆ rng(i_G) = M[ G ] und G  ∈  M[ G ]. Ist G  ∉  M, so ist also M [ G ] eine echte Erweiterung von M, die das erwünschte Objekt G enthält.

 Wir können über das Modell M [ G ] einige Eigenschaften recht einfach zeigen. Der folgende Satz fasst diese zusammen.

Generische Erweiterungen

 Wir hatten allgemein den Begriff eines 𝒜-generischen Filters G auf P  ∈  M definiert. Der wichtigste Spezialfall hier 𝒜 = M. Ein M-generischer Filter G auf P ist also ein Filter auf P mit der Eigenschaft:

(#)  G ∩ D ≠ ∅  für alle dichten D ⊆ P mit D  ∈  M.

Die Generizitäts-Bedingung (#) besitzt verschiedene Umformulierungen:

 Wir definieren nun:

 Weiter können wir folgende semantische Definition dafür geben, dass ein Element von P die Gültigkeit einer Aussage in der generischen Erweiterung garantiert oder, mit einem anderen Wort, erzwingt:

 Die Voraussetzung der Abzählbarkeit von M garantiert, dass für alle p  ∈  P ein M-generischer Filter G auf P existiert. Diese Folgerung aus der Abzählbarkeit von M würde als Voraussetzung für das Folgende genügen, aber wir beschränken uns der Einfachheit halber auf abzählbare Modelle.

 Die Definition der Forcing-Relation ist eine Definition in V. Wir werden im Verlauf unserer Untersuchungen aber das erstaunliche und nichttriviale Ergebnis beweisen, dass diese Relation auch im Modell M selbst definiert werden kann. M kann also genau vorhersagen, was in allen seinen generischen Erweiterungen gilt, deren Filter G eine bestimmte Bedingung p als Element enthält. Im Modell M kann man über generische Erweiterungen wie folgt diskutieren: „Wir haben keinen generischen Filter für diese Bedingungsmenge, aber wenn wir einen hätten, dann würde in der zugehörigen Erweiterung diese und jene Aussage gelten, eine dritte aber nur, wenn diese bestimmte Bedingung p im Filter liegt, usw.“

Die drei Forcing-Lemmata

 Die folgenden Sätze versammeln drei grundlegende Eigenschaften der semantischen Forcing-Relation. Nur der erste Satz ist einfach zu beweisen, für die beiden anderen müssen wir weiter ausholen. Die einfache Beobachtung ist:

 Das erste tiefer liegende Resultat lautet:

 Klar ist hier nur die Implikation von (b) nach (a). Gilt φ in irgendeiner generischen Erweiterung M[ G ], so besagt das Wahrheitslemma, dass es ein p  ∈  G gibt derart, dass φ in allen generischen Erweiterungen M[ H ] gilt mit p  ∈  H. Für die Gültigkeit von φ in einer generischen Erweiterung ist also immer eine einzelne Bedingung im Filter verantwortlich und nie der ganze Filter selbst.

 Das zweite starke Ergebnis ist die oben bereits angesprochene Definierbarkeit der Forcing-Relation im Grundmodell:

 Zum Beweis der letzten beiden Sätze führen wir eine zweite Forcing-Relation ein. Im Unterschied zur semantischen Forcing-Relation wird sie als Klasse im Modell M definiert. Die Darstellung folgt dem Artikel von Shoenfield in [ Scott 1971 ]. Die zweite Forcing-Relation geht auf Cohens sog. „weak forcing“ zurück.

Die zweite Forcing-Relation

 Wir betrachten die aus ∨, ¬, ∃,  ∈ , ≠ gebildete Sprache (ohne Gleichheit). Die Gleichheit wird definiert durch

x  =  y,  falls  ¬(x ≠ y).

Wie üblich bedeutet x  ∉  y, dass ¬ (x  ∈  y).

 Wir schreiben im Folgenden oft kurz p ⊩* φ statt p ⊩* φ(a₁, …, a_n).

 Wir zeigen nun die Analoga der ersten beiden Forcing-Lemmata für die schwache Forcing-Relation, klären den Zusammenhang zwischen den beiden Relationen und können dann leicht das zweite und dritte Forcing-Lemma für die semantische Forcing-Relation beweisen. Zunächst gilt:

 Der Beweis ist eine einfache Induktion. Wesentlich subtiler ist:

Zusammenhang zwischen den beiden Forcing-Relationen

 Wir zeigen:

Eigenschaften der Forcing-Relation

 Wir stellen häufig verwendete Regeln für den Umgang mit der Forcing-Relation zusammen.

 Die Beweise dieser Eigenschaften sind mit Hilfe des Erweiterungs- und des Wahrheitslemmas für die semantische Forcing-Relation leicht zu führen.

 Die erste Eigenschaft hält die offensichtliche Aussage fest, dass kein p sowohl φ als auch ¬ φ erzwingen kann. Die zweite Eigenschaft besagt, dass für jede Bedingung eine stärkere Bedingung existiert, die φ entscheidet. Hier geht das Wahrheitslemma ein. Die bemerkenswerte Negationsregel (iii) ist ebenfalls eine Folge des Wahrheitslemmas. Schließlich sind die ∧- und ∀-Regeln glatt und einfach, während sich für ∨ und ∃ komplizierte Bedingungen ergeben, um die erwarteten Auflösungen zu erhalten. Genauer besagen die Regeln, dass die erwarteten Auflösungen dicht unterhalb von p gelten: ∀q ≤ p ∃r ≤ q …

 Das folgende Maximumsprinzip zeigt nun aber, dass wir für den Existenzquantor doch eine glatte Regel erhalten, indem wir die durch die obigen Regeln gegebenen Zeugen unterhalb von p zu einem bereits für p geeigneten Zeugen zusammenbauen.

 Die Regel für φ ⊩ φ ∨ ψ lässt sich dagegen nicht weiter verbessern. Für alle Aussagen φ und alle Bedingungsmengen P gilt trivialerweise 1_P ⊩ φ ∨ ¬ φ. Aber i. A. gilt nicht, dass p ⊩ φ oder p ⊩ ¬ φ. Aufgrund der logischen Äquivalenz von φ ∨ ψ und ∃x. (x = ∅ → φ) ∧ (x ≠ ∅ → ψ) gibt es nach dem Maximumsprinzip aber ein b, sodass gilt:

p ⊩ φ ∨ ψ  gdw  p ⊩ (b = ∅ → φ) ∧ (b ≠ ∅ → ψ).

M[ G ] ist ein Modell von ZFC

 Wir zeigen nun, speziell auch mit Hilfe des Definierbarkeitslemmas:

Forcing und relative Konsistenzbeweise

 Wir haben gesehen, wie wir ein gegebenes abzählbares transitives Modell von ZFC sehr flexibel und kontrolliert zu einem Modell M[ G ] erweitern können. Zeigen wir nun, dass eine Aussage φ in M[ G ] gilt, so haben wir die Konsistenz von φ relativ zu ZFC bewiesen. Um dies streng zu begründen, sind noch einige Überlegungen notwendig, da unsere Modellannahme über die Widerspruchsfreiheit von ZFC hinausgeht. Wir zeigen hierzu vorab eine Variante des Reflexionsprinzips.

 Damit zeigen wir nun:

 Damit können wir nun erste relative Konsistenzbeweise mit der Forcing-Methode durchführen. (Eine weitere Rechtfertigung der relativen Konsistenz-Beweise durch Forcing geben wir mit Hilfe von Booleschen Modellen im nächsten Kapitel.)

Modelle von „V ≠ L“

 Bis auf weiteres ist M immer ein abzählbares transitives Modell von ZFC.

 Wir halten als wichtige Folgerung von „On ∩ M = On ∩ M[ G ]“ fest:

M und M[ G ] besitzen dieselben konstruierbaren Mengen.

 In generischen Erweiterungen kann eine starke Form von „V ≠ L“ gelten:

 Die Bedingungsmenge des Beweises kollabiert, wie man sagt, ω₁^M auf ω. Wir fügen durch Forcing eine Surjektion von ω auf ω^M₁ hinzu. Die erste überabzählbare Kardinalzahl ω₁^N in einer generischen Erweiterung N von M ist dadurch notwendig größer als ω^M₁. Wir werden später sehen, dass ω^N₁ = ω^M₂ gilt, d. h. die M-Kardinalzahl ω₂^M bleibt als Kardinalzahl erhalten, übernimmt nun aber die Rolle von ω₁. (P = 〈 ^{< ω}ω₁, ⊃ 〉 erfüllt die ω₂-Antikettenbedingung, s. u.)

 Das Argument zeigt insbesondere:

 Wir halten noch das bewiesene relative Konsistenzresultat explizit fest:

 Bevor wir uns der Verletzung der Kontinuumshypothese widmen, studieren wir zuerst noch die sog. Antiketten-Eigenschaft von Bedingungsmengen. Diese Eigenschaft spielt für die Stabilität der Kardinalzahlen beim Übergang von M zu M[ G ] eine Schlüsselrolle, und diese Stabilität wiederum ist für die Konstruktion von Forcing-Modellen von ¬ (CH) entscheidend: Fügen wir durch einen generischen Filter ω^M₂-viele neue Teilmengen von ω zu M hinzu, so müssen wir noch nachweisen, dass ω^M₂ immer noch die zweite überabzählbare Kardinalzahl in M[ G ] ist. Erst dann wissen wir, dass die Kontinuumshypothese in M[ G ] verletzt ist. Die in V abzählbare Ordinalzahl ω^M₂ könnte ja, wie der Kollaps von ω^M₁ im obigen Beweis zeigt, durch die in G enthaltene Information abzählbar geworden sein. Es ist bemerkenswert, dass wir derartige unerwünschte Nebeneffekte der Erweiterung durch bestimmte einfache Struktureigenschaften der Bedingungsmenge ausschließen können.

Antiketten in Bedingungsmengen

 Bestimmte Eigenschaften der Bedingungsmenge garantieren bestimmte Eigenschaften in allen generischen Erweiterungen für diese Bedingungsmenge. Das wichtigste Beispiel hierfür ist der Zusammenhang zwischen der Breite der Bedingungsmenge und dem Erhalt von Kardinalzahlen: Ist P schmal, so haben M und M[ G ] dieselben Kardinalzahlen, wie wir sehen werden.

 Die Breite einer partiellen Ordnung messen wir mit Hilfe von Antiketten:

 Eine Bedingungsmenge erfüllt also die abzählbare Antikettenbedingung genau dann, wenn jede Antikette abzählbar ist.

 Zum Überprüfen der Antikettenbedingung führen wir einige kombinatorische Begriffe ein.

 Ein zentrales Ergebnis über Δ-Systeme ist das folgende sog. Δ-Lemma.

 Wir geben noch einen weiteren Beweis des Δ-Lemmas, der regressive Funktionen und den Satz von Fodor heranzieht.

 Für κ = ω ist das Δ-Lemma falsch, wie die Menge E = ω = { n | n  ∈  ω } zeigt. Gleiches gilt für die singuläre Kardinalzahl κ = ℵ_ω:

 Eine allgemeinere Form des Lemmas lautet:

 Der Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen. Gilt die allgemeine Kontinuumshypothese, so ist die „λ^{< μ} < κ“-Voraussetzung für alle Kardinalzahlen μ < κ erfüllt.

 Ein wichtiger Spezialfall der allgemeinen Form ist:

 Wir bestimmen hiermit einige Saturiertheiten von häufig verwendeten Bedingungsmengen.

 Die Saturiertheiten dieser Bedingungsmengen können wir mit dem Δ-Lemma leicht berechnen:

 Das Argument zeigt: Es existiert ein C′ ⊆ C mit |C′| = κ derart, dass die Elemente von C′ paarweise kompatibel sind. Auf diese Verstärkung der κ-Antikettenbedingung werden wir später noch zurückkommen.

 Der Vollständigkeit halber definieren wir nun noch allgemeiner:

 Es gilt also part(A, B) = part_{< ω}(A, B). Das allgemeine Δ-Lemma zeigt:

Antiketten und Erhalt von Kardinalzahlen

 Ist κ eine Kardinalzahl in einer generischen Erweiterung von M, so ist κ nach Abwärtsabsolutheit auch eine Kardinalzahl in M. Obige Konstruktion eines Modells mit nur abzählbar vielen konstruktiblen reellen Zahlen zeigt dagegen, dass Kardinalzahlen in M keine Kardinalzahlen in der generischen Erweiterung mehr sein müssen. Ebenso kann eine generische Erweiterung von M für bestimmte Limesordinalzahlen λ kleinere Konfinalitäten berechnen als M. Wir wissen nur, dass cf ^{M[ G ]}(λ) ≤ cf ^M(λ) gilt. Schlanke Bedingungsmengen garantieren aber kardinale Übereinstimmungen zwischen dem Grundmodell M und seinen generischen Erweiterungen M[ G ]:

 Bevor wir den Beweis führen, vereinbraen wir:

 Damit haben wir das folgende ansprechende Ergebnis:

Die Verletzung der Kontinuumshypothese

 Nach diesen Vorbereitungen können wir nun leicht eine generische Erweiterung konstruieren, in der (CH) falsch ist.

 Wir werden gleich zeigen, dass in der Forcing-Erweiterung des obigen Beweises M[ G ] ⊨ 2^ω = ω₂ gilt, falls 2^ω ≤ ω₂ in M gilt. Wir haben also auch nicht mehr neue Teilmengen von ω zu unserem Grundmodell M hinzugefügt als unser Ansatz vorgibt.

 Das Forcing-Argument zeigt:

 Erst jetzt wissen wir also sicher, dass wir keinen Beweis von (CH) in ZFC übersehen haben (es sei denn, ZFC ist inkonsistent).

 Zusammen mit den Ergebnissen über das innere Modell L der konstruktiblen Mengen haben wir also den folgenden Hauptsatz der metamathematischen Untersuchung von ZFC bewiesen:

 Die weithin akzeptierte Grundlagentheorie der Mathematik kann also die Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen nicht bestimmen. Die elementare Cantorsche Frage

„Ist jede Teilmenge von ℝ abzählbar oder gleichmächtig zu ℝ ?“

können wir in ZFC nicht beantworten. Cantors Suche nach einem Beweis der Kontinuumshypothese hat vergeblich sein müssen − es sei denn, er hätte in einer zweiten Phase seiner Entwicklung der Mengenlehre, die ihm durch seine Erkrankung verwehrt blieb, die Mengen im Sinne von L verstehen wollen und zu verstehen gelernt, als durchweg pythagoreische Gebilde, die aus seinen neuen Ordinalzahlen geformt sind.

 Das Licht, das die Theorie ZFC auf das Linearkontinuum ℝ oder gleichwertig auf die Potenzmenge der natürlichen Zahlen wirft, ist, wenn wir in eine bestimmte Richtung blicken, äußerst schwach. Die dortige Düsternis kontrastiert stark mit den Erfolgen der modernen Analysis in der Mathematik und in der mathematischen Beschreibung der Natur. Dieser Kontrast ist einzigartig in der Mathematik, und er wirft neue Fragen auf. Ist die mengentheoretische Fundierung und speziell die Konstruktion des klassischen Kontinuums zwar nicht unbedingt falsch, aber doch überdimensioniert für die Beschreibung der Natur? Oder ist umgekehrt unser derzeit finitäres Naturverständnis doch noch so ungenügend, dass es die eigentlichen Komplexitäten des physikalischen Universums nicht zu erkennen vermag?

 Die Unvollständigkeit der Theorie ZFC, die ja nach dem zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatz prinzipiell nicht zu vermeiden ist, wird im Hinblick auf die Kontinuumshypothese besonders deutlich, und sie hinterlässt einen ganz anderen Eindruck als die Gödelschen selbstbezüglichen Konstruktionen der Form „Ich bin nicht beweisbar“ und auch noch der Form „ZFC ist widerspruchsfrei“. Die Kontinuumshypothese stellt eine natürliche mathematische Frage. Ohne eine Erweiterung von ZFC um Axiome wie V = L oder andere Axiome, die z. B. 2^ω = ℵ₂ implizieren, können wir diese Frage nicht beantworten. Statt nach einer oder auch nach mehreren „guten“, aber miteinander inkompatiblen Erweiterungen zu suchen, kann das Resultat von Gödel und Cohen auch ein neues Nachdenken über den Mengenbegriff und die Fundierung der Mathematik auf diesen Begriff auslösen. Gemessen an seinem Gewicht ist das Resultat von Gödel und Cohen noch recht jung, und niemand weiß, welche Entwicklungen sich in dieser Frage in den kommenden Jahrzehnten noch ergeben werden. Die Mengenlehre hat, in Vernunftehe mit der mathematischen Logik, ihre Pflicht getan und die Grenzen der Theorie ZFC aufgezeigt. Das Ergebnis für die Kontinuumshypothese war wie von vielen erwartet negativ, aber die entwickelten Methoden und die Einsichten in eine axiomatische Fundierung der Mathematik sind so reich, dass man das negative Ergebnis auch wieder als einen Triumph der Mathematik empfinden kann. Dass aber das Kontinuumsproblem im eigentlichen Sinne gelöst ist, werden wohl nur wenige behaupten wollen.

Cohensche reelle Zahlen

 Unser Forcing mit part(ω^M₂ × ω, 2) können wir dann so lesen: Wir fügen dem Grundmodell ω^M₂-viele Cohensche reelle Zahlen hinzu.

 Unser Argument ist nicht auf κ = ω^M₂ beschränkt. Allgemein gilt:

 Erfüllt das Grundmodell (GCH), so ist κ^ω = κ für alle κ mit cf (κ) > ω. Für diese κ gilt dann M[ G ] ⊨ 2^ω = κ, falls G ein M-generischer Filter auf part(κ × ω, 2) ist. Für alle M ist L^M ein Grundmodell, das (GCH) erfüllt. Also gilt:

 Die Definierbarkeit von κ brauchen wir, damit „2^ω = κ“ eine Aussage ist.

 Damit haben wir schließlich gezeigt, dass der Satz von König-Zermelo bestmöglich ist: Die Konfinalität der Mächtigkeit des Kontinuums ist überabzählbar. Mehr hat ZFC über die Größe der reellen Zahlen nicht zu sagen. Die Theorie kann Mächtigkeiten wie 2^ω = ω_{5ω² + ω + 75} nicht ausschließen.

 Wir notieren noch, wie das Hinzufügen von κ-vielen Cohenschen reellen Zahlen die allgemeine Kontinuumshypothese verändert.

 Der Beweis kann dem Leser zur Übung überlassen bleiben.

κ-abgeschlossene und κ-dichte Bedingungsmengen

 Wir betrachten zwei weitere kombinatorische Eigenschaften einer Bedingungsmenge, die starke Auswirkungen auf die Struktur der zugehörigen generischen Erweiterungen haben.

 War die Antikettenbedingung ein Maß für die Breite einer Bedingungsmenge P, so garantiert die folgende Abgeschlossenheit eine gewisse Tiefe von P:

 Subtiler ist die folgende Tiefenmessung:

 Der Schnitt über offene dichte Mengen ist immer offen. Offenbar besteht folgender Zusammenhang:

 Die Wirkung der Dichtheit ist nun, dass ein Forcing mit einer κ-dichten Bedingungsmenge keine neuen Folgen der Länge kleiner als κ zum Grundmodell M hinzufügt:

 Speziell erhalten wir:

 Oben hatten wir ω^M₁ durch Forcing auf part(ω, ω₁) kollabiert. Diese Bedingungsmenge ist in der Tat nicht ω₁-dicht.

 Die Umkehrung des Satzes gilt für Bedingungsmengen, die sich geeignet verfeinern.

 Leicht zu sehen ist:

 Separative partielle Ordnungen spielen in der Forcing-Theorie eine wichtige Rolle, und wir werden sie im folgenden Kapitel bei der Diskussion der Vervollständigung einer Booleschen Algebra noch genauer betrachten.

Forcing statt innerer Modelle

 Die Erzwingungsmethode ist auch dazu geeignet, die relative Konsistenz der Aussagen (CH), (◇) und ¬(SH) zu beweisen, die wir mit Hilfe von L gewonnen hatten. Der Wert des inneren Modells L wird dadurch nicht geschmälert.

 Am einfachsten erhalten wir (CH):

 Darüber hinausgehend können wir auch generische Erweiterungen finden, in denen das Karo-Prinzip gilt:

 Schließlich lassen sich auch Suslin-Bäume durch Forcing erzeugen. Wir skizzieren das Argument.

 Suslin-Bäume entstehen de facto sehr häufig auch durch Bedingungsmengen, die gar nicht daraufhin ausgerichtet sind. Man kann zum Beispiel zeigen, dass das Hinzufügen einer Cohenschen reellen Zahl auch einen Suslin-Baum erzeugt.

Produkt-Forcing

 Sei M[ G ] eine generische Erweiterung von M mit einem M-generischen Filter G auf P. In M[ G ] können wir nun eine Bedingungsmenge Q betrachten, und generische Erweiterungen M[ G ][ H ] für M[ G ]-generische Filter H auf Q untersuchen. Hier ist nun im Allgemeinen Q kein Element von M mehr, wir haben nur einen Namen Q° für Q in M und ein p  ∈  G, das erzwingt, dass Q° eine Bedingungsmenge in M[ G ] ist. Können wir dann M[ G ][ H ] trotzdem in M beschreiben? Und wenn ja: Welche Bedingungsmenge in M entspricht dieser zweistufigen Erweiterung?

 Diese Fragestellung ist der Ausgangspunkt der Theorie des iterierten Forcings, die wir später besprechen werden. Es ist in der Tat möglich, in M ein wiederholtes Forcing zu beschreiben. Die zugehörigen Bedingungsmengen sind recht verwickelt, aber mit der entwickelten Methode lässt sich dann problemlos arbeiten.

 Hier betrachten wir den einfacheren Fall, dass die zweite Bedingungsmenge Q bereits im Grundmodell M vorhanden ist. Dieser Fall ist für sich von Interesse und hat klärenden Charakter, nicht nur als Vorbereitung auf das eigentliche iterierte Forcing.

 Wir definieren zunächst das Produkt zweier Bedingungsmengen.

 Weiter brauchen wir die folgenden Projektionen:

 Für das Forcing auf Produktordnungen gilt:

 Aus der Minimalität generischer Erweiterungen erhalten wir dann sofort den folgenden Identifikationssatz für Produkte:

 Generische Erweiterungen, die auf Produktordnungen basieren, können wir also als zweistufige Erweiterungen auf den Faktoren auffassen − und umgekehrt.

 Die M[ G_P ]-Generizität in (ii) ist in der Tat notwendig:

 Die generischen Filter G auf P × Q sind also Produkte generischer Filter auf P und Q, aber nicht beliebige solche Produkte.

 Seien A, B disjunkte Mengen, und sei C beliebig. Die Bedingungsmenge part(A ∪ B, C) können wir mit dem Produkt part(A, C) × part(B, C) identifizieren. Nach dem Produktsatz ist jedes Forcing auf part(A ∪ B, C) gleichwertig zu einem Forcing auf part(A, C) in M gefolgt von einem Forcing auf part(B, C) in M[ G ]. Speziell können wir das Cohen-Forcing part(2 × ω, ω), das dem Grundmodell zwei neue Cohensche Zahlen aus dem reichen Vorrat des Universums spendiert, als einen Prozess auf part(ω, ω) × part(ω, ω) auffassen, der zwei Cohensche Zahlen nacheinander hinzufügt. Eine ähnliche Aufspaltung werden wir im nächsten Zwischenabschnitt verwenden.

 Das Produkt-Forcing liefert uns eine Möglichkeit zu zeigen, dass bestimmte Objekte der generischen Erweiterung nicht neu sein können:

 Der Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen.

Die Antiketten-Bedingung in Produkten

 Wir betrachten das Produkt K = P × Q zweier Bedingungsmengen P und Q, die die abzählbare Antiketten-Bedingung erfüllen, und stellen die Frage:

Erfüllt K die abzählbare Antikettenbedingung?

Diese Frage beinhaltet keinerlei Forcing-Begriffe, sie ist eine natürliche Frage aus der Theorie der partiellen Ordnungen. Es zeigt sich, dass die Frage in ZFC nicht beantwortbar ist (es sei denn ZFC ist widerspruchsvoll). Das Problem ist unabhängig von ZFC. Zum einen gilt:

 Wir konstruieren später durch iteriertes Forcing ein Modell, in dem das Produkt zweier Bedingungsmengen, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllen, stets wieder die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt.

 Wir betrachten folgende Verstärkung der κ-Antikettenbedingung:

 Obiger Beweis der Antikettenbedingung in part(A, B) zeigt:

part_κ(A, B) ist ((|B|^{< κ})⁺)-Knaster  für alle A, B, κ.

 Für die κ-Abgeschlossenheit gilt:

 Der Beweis kann dem Leser zur Übung überlassen bleiben.

 Überraschenderweise ist das Produkt zweier κ-dichter Bedingungsmengen im Allgemeinen nicht mehr κ-dicht. Ein Gegenbeispiel liefert die folgende partielle Ordnung, die sich in der heutigen Forcing-Theorie einen Stammplatz erworben hat:

Das club-Schießen

 Wir betrachten folgende Bedingungsmenge:

 Damit können wir die wichtigsten Eigenschaften des club-Schießens zusammenstellen:

 Die ω₁-Dichtheit haben wir bereits bewiesen. Alle anderen Aussagen sind einfach zu zeigen.

 Die Konstruktion zeigt insbesondere: Ist M ein abzählbares Modell von ZFC und 𝒮^M die Menge der stationären Teilmengen von ω₁ im Sinne von M, so ist

𝒮^M  ⊆  { X ⊆ ω^M₁ | X enthält eine club-Menge C ⊆ ω^M₁ }.

Ist S  ∈  𝒮^M stationär-kostationär im Sinne von M, so enthält sowohl S als auch ω^M₁ − S aus der Sicht von V eine club-Menge in ω^M₁. Dies ist kein Widerspruch, da cf(ω^M₁) = ω gilt, also die club-Mengen des Universums auf ω^M₁ keinen Filter bilden.

 Ist S ⊆ ω^M₁ stationär-kostationär in M, so ist ω^M₁ − S dünn in jeder generischen Erweiterung von S. Damit gilt:

Modelle von ZF ohne Auswahlaxiom

 Mit der Erzwingungsmethode lassen sich auch Modelle von ZF konstruieren, in denen (AC) falsch ist. Ein solches Modell N liegt zwischen dem Grundmodell M und einer generischen Erweiterung M[ G ], die ja beide das Auswahlaxiom erfüllen. Es wird gelten: M ⊂ N ⊂ M[ G ]. Zur Konstruktion brauchen wir:

 Ein Automorphismus rechnet in kanonischer Weise Namen in M um:

 Wegen π(1_P) = 1_P gilt π*(â) = â für alle a  ∈  M.

 Zunächst zeigen wir:

 Der folgende Satz zeigt die Bedeutung des Begriffs der schwachen Homogenität: Die Forcing-Verhältnisse betreffend die Negation werden einfacher.

 Eine wichtige Folgerung ist:

 Eine Anwendung ist:

 Nach diesen Vorbereitungen können wir nun Modelle konstruieren, die das Auswahlaxiom verletzen.

 Damit haben wir bewiesen, was wir bisher nur vermutet hatten:

 Eine Variante der Konstruktion liefert zum Beispiel: