7. Iteriertes Forcing

Wir wollen nun die Erzwingungsmethode iteriert anwenden, indem wir generische Erweiterungen von generischen Erweiterungen bilden. Allgemein betrachten wir transfinite Folgen von Modellen, in denen jedes Nachfolgermodell eine generische Erweiterung seines Vorgängers ist, während jedes Limesmodell in bestimmter Weise aus allen seinen Vorgängern amalgamiert wird. Unser Hauptziel ist dabei die Konstruktion einer Forcing-Erweiterung eines Grundmodells, in der die Suslin-Hypothese erfüllt ist.

Wir arbeiten wieder mit partiellen Ordnungen und abzählbaren transitiven Grundmodellen, sodass dieses Kapitel unmittelbar im Anschluss an das fünfte Kapitel gelesen werden kann. Wir übernehmen die dortigen Konventionen und Bezeichnungen. Zudem schreiben wir im Folgenden ⊩_P φ statt 1_P ⊩ φ.

Erweiterungen in zwei Schritten

Wir betrachten zunächst zweistufige Erweiterungen, also Forcing-Modelle der Form M[ G ][ H ] = (M[ G ])[ H ]. Hier ist G ein M-generischer Filter auf einer Bedingungsmenge P  ∈  M, und H ein M[ G ]-generischer Filter auf einer Bedingungsmenge Q  ∈  M[ G ]. Im Unterschied zum Produktforcing kann also die für die zweite Erweiterung benutzte Bedingungsmenge Q eine beliebige partielle Ordnung in der ersten Erweiterung M[ G ] sein, muss also nicht mehr bereits im Ausgangsmodell M vorhanden sein. Aufgrund des Definierbarkeitslemmas können wir aber, wie wir zeigen werden, diese zweistufige Erweiterung dennoch durch eine Bedingungsmenge R im Grundmodell beschreiben, d. h. M[ G ][ H ] ist von der Form M[ K ] für einen M-generischen Filter K auf einer gewissen Bedingungsmenge R  ∈  M, die mit Hilfe von P und einem Namen für Q  ∈  M[ G ] definiert wird. Von der Warte der reinen Möglichkeiten aus betrachtet liefern also zweistufige Erweiterungen nichts Neues, da sie letztendlich doch einstufige Erweiterungen sind, und das Gleiche gilt auch für die transfiniten Erweiterungen. Die Darstellung M[ K ] und die Definition der Bedingungsmenge R ist allerdings etwas technisch, und für die Intuition ist das Denken in mehreren Schritten unverzichtbar. Zur Konstruktion von Modellen lässt sich die iterierte Erzwingungsmethode dann insgesamt wieder einfach so durchführen, indem man angibt, mit welchen partiellen Ordnungen in welcher Stufe der Erweiterung man operieren möchte.

Wir definieren nun die Bedingungsmengen in M, die die allgemeinen zweistufigen Iterationen einfangen.

Definition (das Stern-Produkt P ∗ Q)

Sei Q  ∈  M mit ⊩_P „Q ist eine Bedingungsmenge“. Weiter sei

A = { (p, q) | p  ∈  P, q  ∈  M, p ⊩ q  ∈  Q }.

Auf der M-Klasse A definieren wir eine Äquivalenzrelation ∼ durch

(p, q) ∼ (p′, q′), falls p = p′ und p ⊩ q = q′.

Sei λ  ∈  M ein Limes derart, dass P, Q  ∈  V_λ ∩ M. Wir setzen dann:

P ∗ Q = { (p, q)/∼ ∩ V_λ | p  ∈  P, q  ∈  M }.

Wir schreiben kurz (p, q) statt (p, q)/∼ ∩ V_λ, und ordnen P ∗ Q durch

(p₁, q₁) ≤ (p₂, q₂) falls p₁ ≤ p₂ und p₁ ⊩ q₁ ≤ q₂.

Bemerkung

In der Literatur wird die Produktbildung häufig in der Form P ∗ Q̋ anstelle von P ∗ Q notiert. Hier gilt dann ⊩ „Q̋ ist eine partielle Ordnung“ und die Elemente von P ∗ Q̋ sind von der Form (p, ̋q) mit p ⊩ ̋q  ∈  Q̋. Ist weiter G ein M-generischer Filter auf P, so ist dann oft automatisch Q = i_G(Q̋) die verwendete Bedingungsmenge in M[ G ] (während in unserer Notation i_G(Q) diese Bedingungsmenge ist). Beide Notationen haben ihre Vorteile. Die „P ∗ Q̋“-Schreibweise ist sicher suggestiv, und in obiger informalen Motivation hatten wir die zweite Bedingungsmenge in M[ G ] auch Q genannt, während in obiger Definition Q ein Name für eine Bedingungsmenge ist. Streng genommen geht der Namens-Schreibweise ̋x aber die Wahl eines generischen Filters voraus, und auch deswegen verwenden wir die Notation P ∗ Q. Sie ist zudem notationell etwas einfacher.

Das Produkt P ∗ Q ist eine Bedingungsmenge in M. Die Wahl der Ordninalzahl λ ist motiviert durch folgende Überlegung:

Übung

Jede Äquivalenzklasse von ∼ besitzt einen Repräsentanten (p, q) mit q  ∈  ℘^M(P × t. c.(Q)).

Wir ignorieren im Folgenden die technischen Details im Zusammenhang mit der Definition von P ∗ Q.

Als Nächstes definieren wir das zugehörige Produkt von Filtern.

Definition (G ∗ H)

Sei Q  ∈  M mit ⊩_P „Q ist eine Bedingungsmenge“. Weiter sei G ein M-generischer Filter auf P, und sei H ⊆ i_G(Q). Wir setzen dann:

G ∗ H = { (p, q) | p  ∈  G, i_G(q)  ∈  H }.

Es gilt nun der folgende Produktsatz:

Satz (Produktsatz)

Sei Q  ∈  M mit ⊩_P „Q ist eine Bedingungsmenge“. Dann gilt:

(a)	Sei G ein M-generischer Filter auf P, und sei H ein M[ G ]-generischer Filter auf i_G(Q). Dann ist G ∗ H ein M-generischer Filter auf P ∗ Q. Weiter gilt M[ G ∗ H ] = M[ G ][ H ].

(b)

Sei K ein M-generischer Filter auf P ∗ Q. Seien

G = pr₁(K) = { p  ∈  P | es gibt ein q  ∈  Q mit (p, q)  ∈  K },

H = i_G″pr₂(K) = { i_G(q) | es gibt ein p  ∈  P mit (p, q)  ∈  K }.

Dann ist G ein M-generischer Filter auf P und H ist ein M[ G ]-generischer Filter auf i_G(Q). Weiter gilt K = G ∗ H und M[ K ] = M[ G ][ H ].

Beweis

zu (a):

Wir zeigen zunächst:

(+) G ∗ H ist ein Filter auf P ∗ Q.

Beweis von (+)

Sei (p₁, q₁)  ∈  G ∗ H, und sei (p₂, q₂)  ∈  P ∗ Q mit (p₁, q₁) ≤ (p₂, q₂). Dann gilt p₁ ≤ p₂, also p₂  ∈  G. Weiter gilt p ⊩ q₁ ≤ q₂ und wegen p  ∈  G also i_G(q₁) ≤ i_G(q₂). Wegen (p₁, q₁)  ∈  G ∗ H ist i_G(q₁)  ∈  H, und wegen H Filter und i_G(q₁) ≤ i_G(q₂) ist dann auch i_G(q₂)  ∈  H. Insgesamt ist also p₂  ∈  G und i_G(q₂)  ∈  H, also (p₂, q₂)  ∈  G ∗ H.

Seien nun (p₁, q₁), (p₂, q₂)  ∈  G ∗ H. Dann sind p₁, p₂  ∈  G, also gibt es ein p₃  ∈  G mit p₃ ≤ p₁, p₂. Analog finden wir wegen H Filter und i_G(q₁), i_G(q₂)  ∈  H ein q₃  ∈  Q mit

(α)	i_G(q₃) ≤ i_G(q₁), i_G(q₂)

(β)	i_G(q₃)  ∈  H

Dann gibt es aber ein p₄  ∈  G mit p₄ ≤ p₃ und

p₄ ⊩ q₃ ≤ q₁, q₂.

Also ist (p₄, q₃)  ∈  G ∗ H und (p₄, q₃) ≤ (p₁, q₁), (p₂, q₂).

Wir zeigen nun, dass der Filter G ∗ H M-generisch auf der Bedingungsmenge P ∗ Q ist. Sei hierzu D  ∈  M eine dichte Teilmenge von P ∗ Q. Wir setzen:

E = i_G″ pr₂(D) = { i_G(q) | es gibt ein p  ∈  G mit (p, q)  ∈  D }.

Dann ist E  ∈  M[ G ] und es gilt:

(++) E ist eine dichte Teilmenge von i_G(Q).

Beweis von (++)

Sei i_G(q)  ∈  i_G(Q) beliebig. Sei

D_q = { p  ∈  P | es gibt ein q′  ∈  Q mit (p, q′)  ∈  D und p ⊩ q′ ≤ q }.

Dann ist D_q  ∈  M dicht in P: Denn sei p  ∈  P beliebig. Wegen D dicht in P ∗ Q gibt es ein (p′, q′)  ∈  D mit (p′, q′) ≤ (p, q). Dann ist p′ ≤ p und p′ ⊩ q′ ≤ q. Also ist p′  ∈  D_q und p′ ≤ p. Wegen G M-generisch existiert also ein p  ∈  G ∩ D_q. Nach Definition von D_q gibt es dann aber ein q′  ∈  Q mit (p, q′)  ∈  D und p ⊩ q′ ≤ q. Dann ist aber i_G(q′)  ∈  E und i_G(q′) ≤ i_G(q).

Wegen G ∗ H  ∈  M[ G ][ H ] ist M[ G ∗ H ] ⊆ M[ G ][ H ]. Umgekehrt ist G  ∈  M[ G ∗ H ], also M[ G ] ⊆ M[ G ∗ H ]. Wegen H  ∈  M[ G ∗ H ] ist dann aber auch M[ G ][ H ] ⊆ M[ G ∗ H ]. Insgesamt erhalten wir also M[ G ∗ H ] = M[ G ∗ H ].

zu (b):

Man zeigt ohne Mühe, dass G ein Filter auf P ist. Sei also D  ∈  M eine dichte Teilmenge von P. Dann ist

D′ = { (p, q)  ∈  P ∗ Q | p  ∈  D }  ∈  M

dicht in P ∗ Q. Sei also (p, q)  ∈  D′ ∩ K. Dann ist p  ∈  D ∩ G. Also ist G ein M-generischer Filter auf P.

Es ist wieder leicht zu sehen, dass H ein Filter auf i_G(Q) ist. Sei also i_G(E) eine dichte Teilmenge von i_G(Q). Ohne Einschränkung gilt ⊩ „E ist dicht in Q“. Wir setzen:

D = { (p, q)  ∈  P ∗ Q | p ⊩ q  ∈  E }.

Dann ist D  ∈  M und es gilt:

(+++) D ist dicht in P ∗ Q.

Beweis von (+++)

Sei (p, q)  ∈  P ∗ Q beliebig. Es gilt p  ∈  P und p ⊩ q  ∈  Q. Wegen p ⊩ „E ist dicht in Q“ gilt

p ⊩ „es gibt ein q′ ≤ q mit q′  ∈  E“.

Nach dem Maximumsprinzip existiert dann aber ein q′  ∈  M mit p ⊩ „q′ ≤ q und q′  ∈  E“. Ohne Einschränkung ist q′  ∈  Q. Dann ist (p, q′) ≤ (p, q) und (p, q′)  ∈  D.

Nach (+++) existiert ein (p, q)  ∈  D ∩ K. Wegen (p, q)  ∈  K ist p  ∈  G und i_G(q)  ∈  H. Wegen (p, q)  ∈  D gilt p ⊩ q  ∈  E und wegen p  ∈  G gilt dann also i_G(q)  ∈  i_G(E). Also ist i_G(q)  ∈  i_G(E) ∩ H.

Wir zeigen schließlich noch, dass K = G ∗ H gilt. Aus (a) folgt hieraus dann, dass M[ K ] = M[ G ][ H ].

zu K ⊆ G ∗ H:

Ist (p, q)  ∈  K, so ist p  ∈  G und i_G(q)  ∈  H, also (p, q)  ∈  G ∗ H.

zu G ∗ H ⊆ K:

Sei (p, q)  ∈  G ∗ H. Wegen p  ∈  G existiert ein q′  ∈  Q mit (p, q′)  ∈  K. Weiter existiert wegen i_G(q)  ∈  H ein p′  ∈  P mit (p′, q)  ∈  K. Da K ein Filter ist, gibt es ein (p₁, q₁)  ∈  K derart, dass

(p₁, q₁) ≤ (p, q′), (p′, q).

Wegen (p₁, q₁) ≤ (p′, q) ist (p₁, q₁) ≤ (p₁, q) nach Definition von ≤. Wegen (p₁, q₁) ≤ (p, q′) ist p₁ ≤ p und somit auch (p₁, q) ≤ (p, q). Also ist (p₁, q₁) ≤ (p₁, q) ≤ (p, q), und damit ist (p, q)  ∈  K.

Übung

Sei Q  ∈  M mit ⊩_P „Q ist eine Bedingungsmenge“. Zeigen Sie:

Es gibt in M definierbare funktionale Klassen σ und τ, sodass für alle a  ∈  M und alle G, H wie in (a) bzw. (b) gilt:

(i)	i_G ∗ H(a) = i_H(i_G(σ(a)))

(ii)	i_G(i_H(a)) = i_G ∗ H(τ(a))

Der Zusammenhang mit der einfacheren früheren Produktbildung ist der folgende:

Übung

Seien P, Q Bedingungsmengen in M. Dann ist P × Q isomorph zu einer dichten Teilmenge von P ∗ ^Q.

In der Situation der Übung produzieren also die Bedingungsmengen P × Q und P ∗ ^Q dieselben generischen Erweiterungen des Grundmodells M. Die Voraussetzung „Q  ∈  M“ wird aber in der allgemeinen zweistufigen Erweiterung aufgegeben. Im Allgemeinen haben wir nun nur noch einen Namen für die zweite partielle Ordnung im Grundmodell und nicht mehr die Ordnung selber.

Erhalt der κ-Antikettenbedingung

Wir untersuchen nun noch den Erhalt der Antikettenbedingung in zweistufigen Iterationen. Hier gilt:

Satz (Erhaltungssatz für die κ-Antikettenbedingung)

Sei κ eine reguläre überabzählbare Kardinalzahl in M. P erfülle die κ-Antikettenbedingung in M. Weiter sei Q  ∈  M mit

⊩_P „Q erfüllt die ^κ-Antikettenbedingung“.

Dann erfüllt P ∗ Q die κ-Antikettenbedingung in M.

Beweis

Wir arbeiten in M. Annahme, es gibt eine Antikette 〈 (p_α, q_α) | α < κ 〉 in P ∗ Q. Für alle α < β < κ gilt dann (!):

(+) Für alle p ≤ p_α, p_β gilt p ⊩ „q_α und q_β sind inkompatibel in Q“.

Wir setzen:

x = { (^α, p_α) | α < κ }.

Sei G ein M-generischer Filter auf P. Dann ist

i_G(x) = { α < κ | p_α  ∈  G }.

Weiter gilt:

(++) Sind α, β  ∈  i_G(x), α ≠ β, so sind i_G(q_α) und i_G(q_β) inkompatibel in i_G(Q).

Beweis von (++)

Denn sind α, β  ∈  i_G(x), α ≠ β, so gilt p_α, p_β  ∈  G und damit sind p_α und p_β kompatibel. Wegen G M-generisch existiert weiter ein p ≤ p_α, p_β mit p  ∈  G. Also folgt die Behauptung aus (+).

Wegen ⊩_P „Q erfüllt die ^κ-Antikettenbedingung“ gilt also nach (++), dass |i_G(x)| < κ in M[ G ]. Aber κ ist regulär in M[ G ], da κ regulär in M ist und P die κ-Antikettenbedingung erfüllt. Also gilt sup(x) < κ in M[ G ]. Da G ein beliebiger M-generischer Filter auf P ist, haben wir gezeigt:

(+++) ⊩_P sup(x) < ^κ.

Folglich ist

D = { p  ∈  P | es gibt ein α < κ mit p ⊩ strsup(x) = ^α }

dicht in P. Für p  ∈  D sei α_p das eindeutige α < κ mit p ⊩ strsup(x) = ^α_p. Sei A ⊆ D eine maximale Antikette in D. Dann gilt |A| < κ, da P die κ-Antikettenbedingung erfüllt, und damit ist α = sup({ α_p | p  ∈  A }) < κ. Da A ∩ G ≠ ∅ für jeden M-generischen Filter G auf P gilt, haben wir gezeigt:

⊩_P strsup(x) ≤ ^α.

Aber p_α ⊩ ^α  ∈  x, Widerspruch.

Es gilt die folgende Umkehrung des Satzes:

Übung

P ∗ Q erfüllt die κ-Antikettenbedingung in M. Zeigen Sie:

(i)	P erfüllt die κ-Antikettenbedingung in M,

(ii)	⊩_P „Q erfüllt die ^κ-Antikettenbedingung“.

Auch die κ-Abgeschlossenheit bleibt bei der Produktbildung erhalten:

Übung

Sei P κ-abgeschlossen in M. Weiter sei Q  ∈  M mit

⊩_P „Q ist eine ^κ-abgeschlossene Bedingungsmenge“.

Zeigen Sie, dass P ∗ Q κ-abgeschlossen ist.

Übung

Zeigen Sie analoge Aussagen für die Eigenschaften „κ-Knaster“ und „κ-distributiv“.

Transfinite Iterationen mit endlichem Träger

Wir wollen nun auch transfinite Iterationen der Erzwingungsmethode betrachten. Die zweistufige Erweiterung liefert den Nachfolgerschritt einer transfiniten Konstruktion. Die folgende Definition beschreibt die einfachste Limesbildung.

Definition (iteriertes Forcing mit endlichem Träger)

Sei β  ∈  On ∩ M, β ≠ 0, und seien 〈 P_α | α ≤ β 〉, 〈 Q_α, 1_α | α < β 〉  ∈  M.

Die Folge 〈 P_α | α ≤ β 〉 heißt das durch 〈 Q_α, 1_α | α < β  〉 gegebene iterierte Forcing (mit endlichem Träger) der Länge β, falls in M für alle α < β gilt:

(a)	P_α = 〈 P_α, <_α 〉 ist eine Bedingungsmenge, bestehend aus Folgen der Länge α. (Speziell ist also P₀ = { ∅ }.)

(b)	⊩_{P_α} „Q_α ist eine Bedingungsmenge mit größtem Element 1_α“.

(c)	P_α + 1 ist isomorph zu P_α ∗ Q_α durch die Abbildung π : P_α + 1 → P_α ∗ Q_α mit π(p) = (p\|α, p(α)) für alle p  ∈  P_α + 1.

(d)

Ist α ein Limes, so ist der Träger von P_α die Menge aller Folgen p  ∈  M der Länge α mit:

(i)	p\|γ  ∈  P_γ für alle γ < α.

(ii)	Der Träger supp(p) von p ist endlich, wobei supp(p) = { γ < α \| p(γ) ≠ 1_γ }.

Zudem ist die Ordnung <_α auf P_α definiert durch:

p <_α q, falls ∃γ. γ > max(supp(p) ∪ supp(q)) ∧ p|γ <_γ q|γ.

Es gibt viele Möglichkeiten, den Limesschritt zu behandeln. In der Theorie des iterierten Forcings sind speziell die analog definierten Iterationen mit abzählbarem Träger von Interesse. Wir verweisen den Leser hierzu auf die Literatur. Für unsere Ziele genügen Iterationen mit endlichem Träger.

Wir notieren die durch 〈 Q_α, 1_α | α < β 〉 gegebene Iteration 〈 P_α | α ≤ β 〉 auch kurz als 〈 P_α, Q_α | α < β 〉, die Bedingungsmenge P_β und die Elemente 1_α  ∈  Q_α für α < β unterdrückend. Weiter schreiben wir auch ⊩_γ statt ⊩_{P_γ}.

Da P₀ die triviale Bedingungsmenge ist, können wir Q₀ problemlos als eine Bedingungsmenge in M auffassen. Dann gilt P₁ = { 〈  q  〉 | q  ∈  Q₀ }. Q₀ ist also die partielle Ordnung in M, mit der wir die eigentliche Iteration beginnen. Allgemein kann eine Iteration durch eine Rekursion im Grundmodell M definiert werden. Im Rekursionsschritt α gibt man ein Q_α an mit ⊩_α „Q_α ist eine Bedingungsmenge“. Im einfachsten Fall ist Q_α dabei ein Name für eine in ZFC existierende partielle Ordnung. Wählen wir z. B. für Q_α stets einen Namen für die Bedingungsmenge part(ω, 2), so fügt eine entsprechende β-Iteration β-viele Cohensche reelle Zahlen „nacheinander“ zum Grundmodell hinzu.

Leicht einzusehen sind die folgenden Eigenschaften einer Iteration:

Lemma (elementare Eigenschaften der Iteration mit endlichem Träger)

Sei 〈 P_α, Q_α | α < β 〉 ein iteriertes Forcing in M. Dann gilt:

(i)	Für alle α < β und p, q  ∈  P_α gilt: p ≤_α q falls ∀γ < α p\|γ ⊩_γ p(γ) ≤_{Q_γ} q(γ).

(ii)	Für alle α < α′ < β und alle p  ∈  P_α, q  ∈  P_α′ gilt: p ≤_α q\|α impliziert p ⁀ 〈  q(γ) \| α ≤ γ < α′ 〉 ≤_α′ q.

Die Intuition der schrittweisen Erweiterung des Grundmodells wird unterstützt durch folgende Begriffsbildung:

Definition (generische Filter einer Iteration)

Sei 〈 P_α, Q_α | α < β 〉 ein iteriertes Forcing in M, und sei G ein M-generischer Filter auf P_β. Dann setzen wir für alle α ≤ β:

G_α = G|α = { p|α | p  ∈  G }.

Wie zu erwarten gilt:

Übung

Zeigen Sie: Für alle α ≤ β ist G_α ein M-generischer Filter auf P_α.

[ Ist D ⊆ P_α dicht in P_α, so ist E = { p  ∈  P_β | p|α  ∈  D } dicht in P_β. ]

Damit liefert ein M-generischer Filter auf P_β also eine ⊆-aufsteigende Kette von Modellen:

M = M[ G₀ ] ⊆ … ⊆ M[ G_α ] ⊆ M[ G_α + 1 ] ⊆ … ⊆ M[ G_β ] = M[ G ].

Hierbei ist M[ G_α + 1 ] = M[ G_α ][ H ] für einen M[ G_α ]-generischen Filter H auf der Bedingungsmenge i_{G_α}(Q_α)  ∈  M [ G_α ]. Speziell ist H = { i_{G_α}(p(α)) | p  ∈  G } ein derartiger Filter nach dem Produktsatz (da P_α + 1 isomorph zu P_α ∗ Q_α).

Die abzählbare Antikettenbedingung in transfiniten Iterationen

Wir zeigen, dass die abzählbare Antikettenbedingung bei obigem Typ von transfiniten Iterationen erhalten bleibt. Das auf dem Δ-Lemma ruhende Argument motiviert die Verwendung von Bedingungen mit endlichem Träger.

Satz (Erhalt der abzählbaren Antikettenbedingung)

Sei 〈 P_α, Q_α | α < β 〉 ein iteriertes Forcing in M. Für alle α < β gelte:

⊩_α Q_α erfüllt die abzählbare Antikettenbedingung.

Dann erfüllt P_β die abzählbare Antikettenbedingung.

Beweis

Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über die Länge β der Iteration. Der Fall β = 0 ist trivial und der Nachfolgerschritt wird durch den oben bewiesenen Satz über den Erhalt der κ-Antikettenbedingung bei der Produktbildung abgedeckt.

Sei also β eine Limesordinalzahl, und sei A ⊆ P_β mit |A| = ω₁. Weiter sei E = { supp(p) | p  ∈  A }. Nach dem Δ-Lemma (für |E| = ω₁) oder aus trivialen Gründen (für |E| = ω) existiert ein W ⊆ E mit |W| = ω₁ und ein w ⊆ β mit

supp(p) ∩ supp(q) = w für alle p, q  ∈  W mit p ≠ q.

Sei α < β derart, dass w ⊆ α. Nach I. V. ist { p|α | p  ∈  W } keine Antikette in P_α, also existieren p₁ ≠ p₂ in W derart, dass p₁|α und p₂|α kompatibel in P_α sind. Sei also r  ∈  P_α mit r ≤_α p₁|α, p₂|α. Wir definieren p  ∈  P_β durch:

$p (γ) = { \begin{matrix} r (γ) & falls γ \in supp (r) \\ p_{1} (γ) & falls γ \in supp (p_{1}) - w \\ p_{2} (γ) & falls γ \in supp (p_{2}) - w \\ 1_{γ} & sonst. \end{matrix}$

Dann gilt p ≤_β p₁, p₂. Also ist A keine Antikette in P_β.

Konstruieren wir also eine transfinite Iteration so, dass jede verwendete Bedingungsmenge die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt, so bleiben alle Kardinalzahlen und Konfinalitäten des Grundmodells erhalten.

Martins Axiom und Suslin-Hypothese

In L ist die Suslin-Hypothese falsch, und auch mit Hilfe der einstufigen Erzwingungsmethode konnten wir bislang kein Modell konstruieren, in dem die Suslin-Hypothese erfüllt ist. Die Methode des transfinit oft iterierten Forcings erlaubt uns nun aber, Modelle von (SH) zu konstruieren. Ein Ansatz ist hier, durch iteriertes Hinzufügen generischer Zweige jeden Suslin-Baum zu zerstören. Gegeben einen Suslin-Baum T in M fügen wir durch ein geeignetes Forcing einen ω^M₁-Zweig von T zu M hinzu. In M[ G ] ist dann T kein Suslin-Baum mehr. In M[ G ] können aber weiterhin Suslin-Bäume existieren, und deswegen müssen wir das Verfahren iterieren. Wir werden hier aber einen etwas anderen Weg gehen und durch iteriertes Forcing ein starkes und vielseitig verwendbares kombinatorisches Prinzip erzwingen, das die Suslin-Hypothese direkt impliziert. Dieses Prinzip wird durch die folgende für die Erzwingungsmethode sehr natürliche Frage motiviert:

Für welche P und welche 𝒜 existiert (in V) ein 𝒜-generischer Filter auf P?

Wir hatten gesehen, dass für alle abzählbaren Mengensysteme 𝒜 ein 𝒜-generischer Filter auf P existiert. Andererseits existiert kein V-generischer Filter auf der zentralen Bedingungsmenge part(ω, 2): Ist 𝒜 = { D ⊆ P | D dicht in P }, so existiert kein 𝒜-generischer Filter G auf P. In diesem Fall gilt |𝒜| = 2^ω und P erfüllt die abzählbare Antikettenbedingung. Wir betrachten nun das folgende Prinzip, das die Existenz von 𝒜-generischen Filtern für schlanke Bedingungsmengen und Systeme 𝒜 fordert, deren Kardinalität unterhalb von 2^ω liegt:

Martins Axiom (MA)

Sei P eine Bedingungsmenge, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt. Weiter sei 𝒜 eine Menge mit |𝒜| < 2^ω. Dann existiert ein 𝒜-generischer Filter auf P.

Die Forderung, dass P die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt, ist zwar aufgrund der Wichtigkeit dieser Bedingung in der Erzwingungstheorie nicht überraschend, sie wirkt aber dennoch etwas willkürlich, und man wird nach allgemeinen „guten“ Bedingungsmengen P fragen. Irgendeine Voraussetzung an P ist aber auch unter der Forderung |𝒜| < 2^ω notwendig. So kann zum Beispiel für die Bedingungsmenge part(ω, ω₁), die ω₁ auf ω kollabiert, kein 𝒜-generischer Filter existieren für 𝒜 = { D_α | α < ω₁ } mit D_α = { p | α  ∈  rng(p) } für alle α < ω₁. Wir werden unten Verstärkungen von Martins Axiom diskutieren, bei denen die Antikettenbedingung abgeschwächt wird. Diese Verstärkungen sind dann aber nur mit Hilfe von großen Kardinalzahlen realisierbar, während ZFC für Martins Axiom genügt.

Gilt die Kontinuumshypothese, so ist (MA) eine beweisbare Aussage. Interessanter ist die Kombination ¬(CH) + (MA). Wir werden unten durch iteriertes Forcing ein Modell konstruieren, in welchem 2^ω = ω₂ und (MA) gilt. Die Grundidee ist hier, alle durch das Prinzip betroffenen Bedingungsmengen P und Systeme 𝒜 zu durchlaufen und entsprechende 𝒜-generische Filter hinzuzufügen. Hierbei zeigt sich, dass wir weitaus weniger partielle Ordnungen betrachten müssen, als wir vielleicht vermuten würden. Hierzu definieren wir folgende scheinbar schwächere Variante des Prinzips:

Martins Axiom für kleine Bedingungsmengen (MA)*

Sei P eine Bedingungsmenge mit |P| < 2^ω, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt. Weiter sei 𝒜 eine Menge mit |𝒜| < 2^ω. Dann existiert ein 𝒜-generischer Filter auf P.

Es gilt nun:

Satz ((MA) und (MA))*

(MA) und (MA*) sind äquivalent.

Beweis

Offenbar folgt (MA*) aus (MA). Für die umgekehrte Implikation sei P eine Bedingungsmenge, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt, und es sei 𝒜 eine Menge von dichten Teilmengen von P mit |𝒜| < 2^ω. Für alle D  ∈  𝒜 sei

A_D = „eine maximale Antikette in D“.

Dann ist A_D abzählbar für alle D  ∈  𝒜. Durch einen Abschlussprozess der Länge ω finden wir ein P* ⊆ P mit:

(i)	A_D ⊆ P* für alle D  ∈  𝒜,

(ii)	für alle p, q  ∈  P* mit p ‖ q existiert ein r  ∈  P* mit r ≤ p, q,

(iii)

|P*| < 2^ω.

Wir setzen nun:

D* = { p  ∈  P* | es gibt ein q  ∈  A_D mit p ≤ p } für alle D  ∈  𝒜,

𝒜* = { D* | D  ∈  𝒜 }.

Nach (MA*) existiert ein 𝒜*-generischer Filter G* auf P*. Wir setzen

G = { p  ∈  P | es gibt ein q  ∈  G* mit q ≤ p }.

Dann ist G ein 𝒜-generischer Filter auf P.

Zur feineren Abstufung definieren wir schließlich noch:

Martins Axiom für Kardinalzahlen (MA_κ)

Sei κ eine unendliche Kardinalzahl. Sei P eine Bedingungsmenge, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt. Sei 𝒜 eine Menge mit |𝒜| ≤ κ. Dann existiert ein 𝒜-generischer Filter auf P.

Die Bedingungsmenge part(ω, 2) zeigt, dass (MA_2^ω) inkonsistent ist. Gilt also (MA_κ), so ist 2^ω > κ. Martins Axiom ist äquivalent zu „(MA_κ) für alle κ < 2^ω“. Gilt 2^ω = ω₂, so ist (MA) äquivalent zu (MA_ω₁). Unabhängig von kardinalzahlarithmetischen Voraussetzungen gilt die folgende Implikation:

Satz (Martins Axiom und Suslin-Hypothese)

(MA_ω₁) impliziert (SH).

Beweis

Wir zeigen, dass kein Suslin-Baum existiert. Hierzu genügt es zu zeigen, dass kein normaler Suslin-Baum existiert. Sei also 〈 T, <_T 〉 ein normaler Baum der Höhe ω₁, der nur abzählbare Antiketten im Sinne des Antikettenbegriffs für Bäume besitzt. Wir betrachten die gestürzte Baumordnung, d. h. wir setzen

s < t, falls t <_T s für alle s, t  ∈  T.

Dann erfüllt 〈 T, < 〉 die abzählbare Antikettenbedingung im Sinne des Antikettenbegriffs für Bedingungsmengen. Für α < ω₁ sei nun:

D_α = { t  ∈  T | o. t._T(t) ≥ α }.

Aufgrund der Normalität von T normal ist D_α dicht in 〈 T, < 〉 für alle α < ω₁. Wegen (MA_ω₁) gibt es also einen Filter G ⊆ T mit G ∩ D_α ≠ ∅ für alle α < ω₁. Dann ist aber G ein überabzählbarer Zweig des Baumes 〈 T, <_T 〉.

Bevor wir nun (MA) + ¬(CH) erzwingen, studieren wir die Konsequenzen von Martins Axiom noch etwas genauer. Das Prinzip bestimmt zwar den Wert von 2^ω nicht, löst aber, wie der folgende Satz von Solovay und Martin zeigt, die kardinalzahlarithmetischen Fragen unterhalb von 2^ω:

Satz (kardinalzahlarithmetische Konsequenzen von (MA))

Es gelte (MA). Dann gilt 2^κ = 2^ω für alle ω ≤ κ < 2^ω. Insbesondere ist cf (2^ω) = 2^κ > κ für alle κ < 2^ω, also ist 2^κ regulär.

Beweis

Sei κ < 2^ω. Seien x_α, α < κ, fast disjunkte Teilmengen von ω. Wir definieren s : ℘(ω) → ℘(κ) durch

s(x) = { α < κ | x ∩ x_α ist unendlich } für alle x ⊆ ω.

Wir zeigen, dass s surjektiv ist. Sei hierzu y ⊆ κ beliebig. Wir setzen:

P_y = { p  ∈  part_{≤ ω}(ω, 2) \|	dom(p) ∩ x_α ist endlich für alle α  ∈  y,
	p(n) = 1 für höchstens endlich viele n  ∈  ω }.

Dann erfüllt P_y die abzählbare Antikettenbedingung, da für je zwei inkompatible p, q  ∈  P_y die endlichen Mengen { n  ∈  dom(p) | p(n) = 1 } und { n  ∈  dom(q) | q(n) = 1 } verschieden sind.

Wir setzen nun:

D_α	= { p  ∈  P_y \| x_α ⊆ dom(p) }	für alle α  ∈  κ − y
E_{α, k}	= { p  ∈  P_y \| p(n) = 1 für mindestens k-viele n  ∈  x_α }	für alle α  ∈  y, k  ∈  ω

Dann sind alle D_α und alle E_{α, k} dicht in P_y (!). Nach (MA) existiert also ein Filter G auf P_y, der alle D_α und E_{α, k} nichtleer schneidet. Sei

x = { n  ∈  ω | es gibt ein p  ∈  G mit n  ∈  dom(p) und p(n) = 1 }.

Dann gilt

y = { α < κ | x ∩ x_α ist unendlich }.

Denn ist α  ∈  y, so ist x ∩ x_α unendlich, da G ∩ E_{α, k} ≠ ∅ für alle k  ∈  ω. Ist α  ∈  κ − y, so ist x ∩ x_α endlich, denn es gibt ein p  ∈  G mit x_α ⊆ dom(p) und wegen p  ∈  P_y ist p(n) = 1 für höchstens endlich viele n  ∈  x_α.

Also ist y = s(x). Dies zeigt, dass s : ℘(ω) → ℘(κ) surjektiv ist.

Unter (MA) sind also Werte wie zum Beispiel 2^ω = ℵ_ω₁ ausgeschlossen. Wir werden unten aber zeigen, dass für jede reguläre überabzählbare Kardinalzahl κ die Kombination „(MA) + 2^ω = κ“ konsistent relativ zu ZFC ist, und damit ist also die Regularität von 2^ω die optimale Folgerung aus (MA).

Eine weitere interessante Konsequenz ist:

Übung

Es gelte (MA_ω₁). Sei P eine Bedingungsmenge, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt. Dann ist P ω₁-Knaster.

[ Sei W = { p_α | α < ω₁ } ⊆ P mit p_α ≠ p_β für α ≠ β. Weiter sei q*  ∈  P derart, dass für alle q mit q ≤ q* gilt:

|{ α < ω₁ | p_α ‖ q }| = ω₁.

Ein solches q* existiert, da P die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt. Wir betrachten nun

D_α = { q ≤ q* | ∃β ≥ α q ≤ p_β } für α < ω₁. ]

Insbesondere erfüllt also unter (MA) das Produkt P × Q zweier Bedingungsmengen, die jeweils die abzählbare Antikettenbedingung erfüllen, wieder die abzählbare Antikettenbedingung.

Martins Axiom hat auch topologische Konsequenzen. So gilt zum Beispiel:

Übung

Es gelte (MA). Sei κ < 2^ω, und seien M_α, α < κ, magere Teilmengen von ℝ. Dann ist ⋃_α < κ M_α mager.

Erzwingung von Martins Axiom

Wir werden nun durch iteriertes Forcing ein Modell konstruieren, in dem (MA_ω₁) gilt. Damit ist dann die relative Konsistenz der Suslin-Hypothese gezeigt, und auch die Aussage „die abzählbare Antikettenbedingung für P und Q bleibt bei der Produktbildung P × Q erhalten“ ist als relativ konsistent zu ZFC nachgewiesen.

Um den Beweis der Modellkonstruktion möglichst transparent zu machen, betrachten wir zwei allgemeine Aussagen vorab.

Übung

Sei M ⊨ (GCH). Sei κ eine reguläre überabzählbare Kardinalzahl in M. P erfülle die abzählbare Antikettenbedingung, und es gelte |P| ≤ κ. Weiter sei Q  ∈  M mit

P ⊩ „Q ist eine Bedingungsmenge mit |Q| ≤ ^κ“.

Dann gilt |P ∗ Q| ≤ κ.

Weiter brauchen wir folgende Abschätzungen der Kontinuumsfunktion:

Übung

Sei M ⊨ (GCH). Sei κ eine reguläre überabzählbare Kardinalzahl in M. P erfülle die abzählbare Antikettenbedingung, und es gelte |P| ≤ κ.

Dann gilt ⊩_P „|2^{^η}| ≤ ^κ“ für alle η < κ.

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun zeigen:

Satz (Erzwingung von Martins Axiom, Satz von Solovay und Tennenbaum)

Es gelte M ⊨ (GCH). Weiter sei κ regulär und überabzählbar in M. Dann existiert eine generische Erweiterung N von M mit:

(i)	M und N haben die gleichen Kardinalzahlen und Konfinalitäten.

(ii)	N ⊨ „(MA) und 2^ω = κ“.

Beweis

Wir arbeiten in M und definieren eine Iteration der Länge κ durch Rekursion nach α < κ. Für alle α < κ definieren wir dabei Q_α, 1_α sowie eine Folge 〈 Q^α_ξ | ξ < κ 〉 derart, dass gilt:

(a)	⊩_α „Q_α ist eine Bedingungsmenge mit größtem Element 1_α, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt.“

(b)	Es gibt ein η < κ mit ⊩_α „Q_α ist eine Bedingungsmenge auf ^η.“

(c)	Für alle ξ < κ existiert ein η < κ mit: ⊩_α „Q^α_ξ ist eine Bedingungsmenge auf ^η“

(d)	Für alle Q, alle η < κ und alle p  ∈  P_α existiert ein ξ < κ mit: p ⊩_α „Q ist eine Bedingungsmenge auf ^η“ impliziert p ⊩_α Q = Q^α_ξ

Rekursionsschritt α

Wir fixieren eine Folge 〈 Q^α_ξ | ξ < κ 〉 wie in (c) und (d) durch Aufzählung von Namen für jede Bedingungsmenge auf einem η < κ.

Zur Existenz:

Für alle η < κ gilt ⊩_α 2^{^η} ≤ ^κ nach obiger Übung, also wird durch P_α erzwungen, dass es nur κ-viele Bedingungsmengen auf einem η < κ gibt. Da P_α die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt und |P_α| ≤ κ gilt, gibt es wie üblich κ^ω-viele Namen, die diese Bedingungsmengen einfangen. Nach (GCH) ist aber κ^ω = κ.

Sei Γ(α) = (β, ξ), mit der Paarungsfunktion Γ. Dann gilt β ≤ α. Wir erzwingen im Wesentlichen mit Q^β_ξ, falls erzwungen wird, dass diese Bedingungsmenge die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt. Hierzu müssen wir aber den P_β-Namen Q^β_ξ noch nach P_α übersetzen. Wir definieren also eine Funktion t = t_{β, α} rekursiv für alle x  ∈  M durch:

t(x) = { (t(y), p⁀〈 1_γ | β ≤ γ < α 〉) | (y, p)  ∈  x }.

Dann gilt für alle x und M-generischen Filter G auf P_α:

i_{G_β}(x) = i_G(t(x)).

Sei nun R₁ = t(Q^α_ξ), und sei R₂ ein P_α-Name für die Bedingungsmenge { 0 }, d. h. es gilt ⊩_α R₂ = { 0 }. Wir setzen nun:

P¹	= { p  ∈  P_α \| p ⊩_α „R₁ erfüllt die abzählbare Antikettenbedingung }
P²	= { p  ∈  P_α \| p ist inkompatibel mit allen Elementen von P¹ }
Q_α	= { (R₁, p) \| p  ∈  P¹ } ∪ { (R₂, p) \| p  ∈  P² }

Ähnlich definieren wir 1_α. Dann gilt (a) und (b).

Sei nun G ein M-generischer Filter auf P_κ. Wir zeigen, dass N = M[ G ] wie gewünscht ist. Es gilt (i), da P_κ die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt. Nach obigen Vorabüberlegungen gilt zudem:

(1) |P_κ| ≤ κ und folglich N ⊨ 2^ω ≤ κ.

Als Nächstes zeigen wir, dass beschränkte Teilmengen von κ nicht in der letzten Stufe N = M[ G ] der Iteration generiert werden, sondern bereits früher erscheinen:

(2) Sei x  ∈  ℘(η) ∩ N für ein η < κ. Dann gibt es ein α < κ mit x  ∈  M[ G_α ].

Beweis von (2): Sei ̋x ein Name von x, also i_G(̋x) = x. Sei 〈 A_γ | γ < η 〉  ∈  M derart, dass für alle γ < η gilt: A_γ ist eine maximale Antikette in { p  ∈  P_κ | p ⊩_κ ^γ  ∈  ̋x }. Dann gilt

x = { γ < η | G ∩ A_γ ≠ ∅ }.

Wegen der Regularität von κ und der Abzählbarkeit aller A_γ, γ < η, existiert ein α < κ mit supp(p) ⊆ α für alle p  ∈  ⋃_γ < η A_γ. Sei nun

B_γ = { p|α | p  ∈  A_γ } für alle γ < η.

Sei γ < η. Ist p  ∈  G ∩ A_γ, so ist p|α  ∈  G_α ∩ B_γ. Ist umgekehrt p  ∈  G_α ∩ B_γ, so ist p⁀〈 1_β | α ≤ β < κ 〉 ein Element von G wegen G Filter, und weiter ein Element von A_γ nach Wahl von α. Insgesamt gilt also G ∩ A_γ ≠ ∅ genau dann, wenn G_α ∩ B_γ ≠ ∅. Also gilt

x = { γ < η | G_α ∩ B_γ ≠ ∅ }.

Es gilt G_α  ∈  M[ G_α ] und 〈 B_γ | γ < η  〉  ∈  M ⊆ M[ G_α ], also ist x  ∈  M [ G_α ].

Hinsichtlich der Gültigkeit von (MA) in N zeigen wir nun:

(3)	Sei Q  ∈  N eine Bedingungsmenge mit \|Q\| < κ, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt. Weiter sei 𝒜 eine Menge von dichten Teilmengen von P mit \|𝒜\| < κ. Dann existiert ein 𝒜-generischer Filter G auf Q mit G  ∈  N.

Beweis von (3): Ohne Einschränkung ist der Träger von Q ein η < κ. Nach (2) existiert ein β < κ mit Q, 𝒜  ∈  M[ G_β ]. Da Q in N = M[ G ] die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt, erfüllt Q diese Bedingung auch in M[ G_α ]. Nach (d) der Konstruktion gibt es also ein ξ < κ mit Q = i_{G_α}(Q^β_ξ). Sei α < κ mit Γ(α) = (β, ξ). Dann gilt

i_{G_α}(Q_α) = i_{G_α}(t_{β, α}(Q^β_ξ)) = Q.

Dann ist aber H = { i_{G_α}(p(α)) | p  ∈  G }  ∈  N ein M[ G_α ]-generischer Filter auf Q, und wegen 𝒜 ⊆ M[ G_α ] also wie gewünscht.

Schließlich haben wir automatisch ein großes Kontinuum erzwungen:

(4) N ⊨ 2^ω ≥ κ.

Beweis von (4): Es gibt unbeschränkt viele α < κ mit i_{G_α}(Q_α) = part(ω, 2), und für jedes derartige α ist

x_α	= { n  ∈  ω \| i_{G_α}(p(α))(n) = 1 \| p  ∈  G }
	= { n  ∈  ω \| i_{G_α}(p(α))(n) = 1 \| p  ∈  G_α + 1 }

ein Element von M[ G_α + 1 ] − M[ G_α ].

Also gilt 2^ω = κ in N. Nach (3) gilt dann aber auch (MA) in N.

Martins Maximum

Es stellt sich die Frage, inwieweit wir die Antikettenbedingung in Martins Axiom noch abschwächen können. Wir definieren hierzu:

Definition (Stationarität erhaltende Bedingungsmengen)

Eine Bedingungsmenge P erhält stationäre Mengen (bzgl. ω₁), falls für alle stationären S ⊆ ω₁ gilt:

⊩ ^S ist stationär in ^ω₁.

Eine sehr starke Verallgemeinerung von Martins Axiom ist nun das folgende Prinzip von Foreman, Magidor und Shelah (1988):

Martins Maximum (MM)

Sei P eine Bedingungsmenge, die stationäre Mengen erhält. Sei 𝒜 eine Menge mit |𝒜| ≤ ω₁. Dann existiert ein 𝒜-generischer Filter auf P.

Die Bezeichnung als „Maximum“ ist gerechtfertigt durch die folgende Beobachtung:

Satz (zur Maximalität von (MM))

Sei P eine Bedingungsmenge derart, dass ein stationäres S ⊆ ω₁ existiert mit non(⊩ ^S ist stationär in ^ω₁). Dann existiert ein 𝒜 mit |𝒜| = ω₁ derart, dass kein 𝒜-generischer Filter auf P existiert.

Beweis

Ohne Einschränkung existiert ein X mit

1_P ⊩ X ist club in ^ω₁ und X ∩ ^S = ∅.

Für alle α < ω₁ setzen wir:

D_α = { p  ∈  P | es gibt ein γ ≥ α mit p ⊩ ^γ  ∈  X }

E_α =	{ p  ∈  P \| p ⊩ ^α  ∈  X } ∪
	{ p  ∈  P \| es gibt ein β < α mit p ⊩ X ∩ ^α ⊆ ^β }

Dann sind alle D_α und E_α dicht in P (!). Sei

𝒜 = { D_α, E_α | α < ω₁ }.

Annahme, es gibt einen 𝒜-generischen Filter G auf P. Wir setzen dann

C = { α < ω₁ | es gibt ein p  ∈  G mit p ⊩ ^α  ∈  X }.

Dann ist C club in ω₁ (!). Also existiert ein α  ∈  X ∩ S. Dann existiert also ein p  ∈  P mit p ⊩ ^α  ∈  X. Also p ⊩ ^α  ∈  ^S ∩ X, Widerspruch.

Übung

Zeigen Sie die beiden mit (!) markierten Behauptungen.

Wir zitieren ohne Beweis einige wichtige Ergebnisse über Martins Maximum, und verweisen den Leser auf die Literatur für Beweise und eine weitere Diskussion dieses und verwandter Prinzipien.

Satz (über Martins Maximum)

(a)	Sei P eine Bedingungsmenge, die die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt. Dann erhält P stationäre Mengen. Insbesondere folgt also (MA_ω₁) aus (MM).

(b)	Sei P eine ω₁-abgeschlossene Bedingungsmenge. Dann erhält P stationäre Mengen.

(c)	Gilt (MM), so ist 2^ω = 2^ω₁ = ω₂. Insbesondere folgt also (MA) aus (MM).

(d)	Gilt (MM), so gilt die singuläre Kardinalzahlhypothese (SCH). Gilt (MM), so ist der club-Filter 𝒞 auf ω₁ saturiert.

Modelle von Martins Maximum können wieder mit iteriertem Forcing konstruiert werden. Allerdings muss man hier die Existenz sehr starker großer Kardinalzahlen (im Bereich von „superkompakt“) im Grundmodell annehmen.

Erweiterungen in zwei Schritten

Definition (das Stern-Produkt P ∗ Q)

Bemerkung

Übung

Definition (G ∗ H)

Satz (Produktsatz)

Beweis

Übung

Übung

Erhalt der κ-Antikettenbedingung

Satz (Erhaltungssatz für die κ-Antikettenbedingung)

Beweis

Übung

Übung

Übung

Transfinite Iterationen mit endlichem Träger

Definition (iteriertes Forcing mit endlichem Träger)

Lemma (elementare Eigenschaften der Iteration mit endlichem Träger)

Definition (generische Filter einer Iteration)

Übung

Die abzählbare Antikettenbedingung in transfiniten Iterationen

Satz (Erhalt der abzählbaren Antikettenbedingung)

Beweis

Martins Axiom und Suslin-Hypothese

Martins Axiom (MA)

Martins Axiom für kleine Bedingungsmengen (MA*)

Satz ((MA) und (MA*))

Beweis

Martins Axiom für Kardinalzahlen (MAκ)

Satz (Martins Axiom und Suslin-Hypothese)

Beweis

Satz (kardinalzahlarithmetische Konsequenzen von (MA))

Beweis

Übung

Übung

Erzwingung von Martins Axiom

Übung

Übung

Satz (Erzwingung von Martins Axiom, Satz von Solovay und Tennenbaum)

Beweis

Martins Maximum

Definition (Stationarität erhaltende Bedingungsmengen)

Martins Maximum (MM)

Satz (zur Maximalität von (MM))

Beweis

Übung

Satz (über Martins Maximum)

Martins Axiom für kleine Bedingungsmengen (MA)*

Satz ((MA) und (MA))*

Martins Axiom für Kardinalzahlen (MA_κ)