4. Produkte aufeinanderfolgender Zahlen
Weitere Informationen über endliche Primzahlfolgen liefert das folgende für sich interessante Ergebnis:
Satz (Produkte aufeinanderfolgender Zahlen)
Sei k ≥ 1. Dann ist das Produkt von k aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch k! teilbar, d. h.: Für alle n0 ≥ 1 ist die natürliche Zahl
n0 (n0 + 1) (n0 + 2) … (n0 + k − 1)
durch k! teilbar.
Für k = 1 ist die Aussage trivial. Für k = 2 können wir sie so einsehen: Für alle n0 ist n0 oder n0 + 1 gerade, sodass n0 (n0 + 1) durch 2! = 2 teilbar ist. Für k = 3 führen ähnliche Überlegungen zum Ziel. Der wahrscheinlich einfachste (und zugleich verblüffendste) allgemeine Beweis bringt eine ganz andere Methode ins Spiel: Die Kombinatorik. Für alle natürlichen Zahlen n, k gibt es genau
= n!k! (n − k)! („k aus n“)
Möglichkeiten, k Elemente aus der Menge { 1, …, n } auszuwählen (ohne Reihenfolge, ohne Wiederholungen). Damit ist der Bruch auf der rechten Seite eine natürliche Zahl − was aus der Sicht der Teilbarkeitstheorie keineswegs klar ist. Mit Hilfe der Binomialkoeffizienten können wir nun den Satz sehr einfach beweisen. Wir müssen nur die Größe n geeignet einstellen:
Beweis
Sei n0 ≥ 1 beliebig. Wir setzen n = n0 + k − 1. Dann ist der Binomialkoeffizient
= n!k! (n − k)! = n (n − 1) … n0k! = n0 (n0 + 1) … (n0 + k − 1)k!
eine natürliche Zahl, woraus die Behauptung folgt.
Wir betrachten einige Beispiele, da die Bedeutung des Ergebnisses für Primzahlfolgen illustrieren.
Beispiele
(1) | Sei (p, p + 2) ein Primzahlzwilling mit p ≥ 5. Dann ist die mittlere Zahl p + 1 durch 3! = 6 teilbar. Denn das Produkt p (p + 1) (p + 2) ist nach dem Satz durch 3! teilbar, und da p und p + 2 Primzahlen größer als 3 sind, muss 3! ein Teiler von p + 1 sein. |
(2) | Sei (p, p + 2, p + 6) ein Primzahldrilling mit p > 7. Dann ist das Produkt (p + 1)(p + 3)(p + 4)(p + 5) der übersprungenen Zahlen durch 7! = 5040 teilbar. Für den Primzahldrilling (11, 13, 17) gilt zum Beispiel 12 · 14 · 15 · 16 = 40320 = 8 · 5040 = 8 · 7! |