5. Eine Verstärkung des Primzahlsatzes
Im Primzahlsatz vergleichen wir die Funktionen π(x) und x/log(x) miteinander. Die folgenden Diagramme zeigen dagegen die Logarithmus-Funktion log(x) im Vergleich mit x/π(x). Auch diese Funktionen sind asymptotisch äquivalent, aber die Umformung führt zu einer neuen Hypothese.
Bei logarithmischer Skalierung der x-Achse erhalten wir:
Diese Diagramme legen die Hypothese nahe, dass die Differenz zwischen log(x) und x/π(x) gegen 1 konvergiert. Diese Hypothese ist in der Tat richtig:
Satz (Primzahlsatz, Limesform)
Es gilt
limx → ∞ (log(x) − xπ(x)) = 1.
Die Limesform ergibt sich aus einem starken Satz von Vallée Poussin, den dieser kurz nach seinem ersten Beweis des Primzahlsatzes gezeigt hatte. Wir werden diesen Satz in den folgenden Essays diskutieren. Hier wollen wir das Ergebnis, das in der Literatur überraschenderweise nur selten explizit formuliert wird, noch einordnen.
Die Limesform des Primzahlsatzes ist aus zweierlei Gründen bemerkenswert. Zum einen kommt sie ohne den Begriff der asymptotischen Äquivalenz aus und ist damit einfacher als der Primzahlsatz. Zum anderen verstärkt sie den Primzahlsatz: Aus der Limesform ergibt sich sofort die asymptotische Äquivalenz der Funktionen log(x) und x/π(x) und damit die von π(x) und x/log(x). Dagegen folgt aus der asymptotischen Version des Primzahlsatzes nicht unmittelbar die Limesform.
Die Limesform ist äquivalent zu
∀ε > 0 ∃x0 ∀x > x0 1 − ε < log(x) − xπ(x) < 1 + ε.
Dies wiederum ist äquivalent zu
∀ε > 0 ∃x0 ∀x ≥ x0 xlog(x) − (1 − ε) < π(x) < xlog(x) − (1 + ε).
Die asymptotische Äquivalenz von log(x) und x/π(x) ist dagegen äquivalent zu
∀ε > 0 ∃x0 ∀x ≥ x0 (1 − ε) xlog(x) < π(x) < (1 + ε) xlog(x).