3. Die Legendre-Vermutung

Nach dem Satz von Bertrand-Chebyshev liegt für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 zwischen n und 2n immer eine Primzahl. Die Form der linken und rechten Grenze lässt sich vielfach variieren. Eine offene Hypothese in dieser Richtung ist:

Legendre-Vermutung

Für jede natürliche Zahl n ≥ 1 gibt es eine Primzahl p mit

n2  <  p  <  (n + 1)2.

 Die Hypothese wurde für viele Zahlen n explizit bestätigt. In der Regel gibt es sogar sehr viele Primzahlen zwischen n2 und (n + 1)2. Definieren wir f (n) für alle n ≥ 1 als die Anzahl der Primzahlen p mit n2 < p < (n + 1)2, so sind

2,  2,  2,  3,  2,  4,  3,  4,  3,  5,  4,  5,  5,  4,  6,  7,  5,  6,  6,  7,  7,  7,  6,  9,  8,  7,  8,

9,  8,  8,  10,  9,  10,  9,  10,  9,  9,  12,  11,  12,  11,  9,  12,  11,  13,  10,  13,  15,

10,  11,  15,  16,  12,  13,  11,  12,  17,  13,  16,  16,  13,  17,  15,  14,  16,  15,  15,

17,  13,  21,  15,  15,  17,  17,  18,  22,  14,  18,  23,  13,  20,  19,  20,  17,  16,  21,

22,  18,  18,  20,  20,  19,  23,  21,  21,  21,  22,  23,  21,  23,  22,  20,  21,  21,  21,

24,  19,  23,  24,  24,  27,  25,  24,  25,  22,  23,  29,  21,  19,  29,  28,  23,  30,  25,

27,  29,  23,  24,  24,  28,  28,  28,  25,  31,  30,  23,  22,  27,  33,  25,  33,  29,  24,

32,  26,  34,  30,  33,  26,  32,  33,  27,  30,  35,  30,  27,  28,  31,  30,  33,  32,  32,

36,  29,  30,  33,  33,  31,  38,  33,  33,  30,  33,  28,  36,  39,  30,  29,  40,  36,  39,

34,  40,  31,  39,  36,  34,  30,  39,  34,  40,  37,  41,  32,  34,  37,  38,  37,  39,  33

die ersten 200 Werte von f. Auch der Primzahlsatz unterstützt die Legendre-Vermutung. Denn die Primzahlen in einem Intervall von n2 bis (n + 1)2 können wir mit Hilfe des Primzahlsatzes abschätzen durch

g(n)  =  (n + 1)2log((n + 1)2)  −  n2log(n2),

wobei diese Abschätzung im naiven Sinne von ungefähr gleich, nicht im mathematischen Sinne von asymptotisch gleich zu lesen ist. Es gilt limn → ∞ g(n) = ∞ und genauer g(n) ∼ n/log(n) ∼ π(n). Die Legendre-Vermutung behauptet aber, dass sich für alle n mindestens eine Primzahl zwischen n und (n + 1)2 befindet, und dies lässt sich mit Hilfe des Primzahlsatzes nicht beweisen. Aus dem Primzahlsatz folgt noch nicht einmal die Existenz einer Zahl n0 derart, dass die Legendre-Vermutung ab n0 gilt, d. h. für alle n ≥ n0 gibt es eine Primzahl zwischen n2 und (n + 1)2. Dagegen weiß man:

Satz (Satz von Ingham (1937))

Es gibt eine Zahl n0 derart, dass für alle n ≥ n0 eine Primzahl p existiert mit

n3  <  p  <  (n + 1)3.